题目

设总体 sim pi (3) 1A2,···,A21 是来自sim pi (3) 1A2,···,A21的样本，则 sim pi (3) 1A2,···,A21 _____(保留整数) ,sim pi (3) 1A2,···,A21 _(保留两位小数) ,sim pi (3) 1A2,···,A21 _(保留整数) , sim pi (3) 1A2,···,A21 _____(保留整数)。

设总体 $X\sim\pi(3),X_1X_2,\dots,X_{21}$ 是来自 $X$ 的样本，则

$E ( \overline X ) =$ ___________(保留整数) ,

$D ( \overline X ) =$ ___________(保留两位小数) ,

$E ( S ^ 2 ) =$ ___________(保留整数) ,

$E [ \sum _ { i = 1 } ^ 21 ( X _ i - \overline X ) ^ 2 ] =$ ___________(保留整数)。

题目解答

由于 $X\sim\pi(3)$ ，所以 $E(X)=3$ ， $Var(X)=3$ 。

则样本均值 $\overline{X}$ 的期望为： $E(\overline{X})=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)$

$=\frac{1}{21}\cdot21\cdot3=3$

样本均值的方差为： $D(\overline X) = \frac{\operatorname{Var}(X)}{n} = \frac{1}{21} \cdot 3 = 0.14$

因此， $E(\overline X)=3$ ， $D(\overline{X})=0.14$ 。

样本方差 $S^2$ 的期望为： $E(S^2)=E\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\right]=\frac{n}{n-1}\cdot Var(X)$

$=\frac{21}{20}\cdot3=3.15$

样本标准差的期望为： $E(S)=E\left[\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}\right]=$

$\sqrt{\frac{n}{n-1}}\cdot\sigma=\sqrt{\frac{21}{20}}\cdot\sqrt{3}\approx1.30$

总体方差的无偏估计量 $\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$ 的期望为： $E\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\right]=(n-1)\sigma^2$

$=(21-1)\cdot3=60$

因此， $E(S^2)=3.15$ ， $E(S)=1.30$ ， $E\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\right]=60$ 。

综上所述，

$E(\overline{X})=3$ ,

$D(\overline{X})=0.14$ ，

$E(S^2)=3$ ,

$E[\sum_{i=1}^21(X_i-\overline{X})^2]=60$ .

考查要点：本题主要考查泊松分布的样本均值、方差、样本方差的期望以及二次型表达式的期望计算。

解题核心思路：

泊松分布的性质：总体均值 $E(X)=\lambda$，方差 $\text{Var}(X)=\lambda$（本题中 $\lambda=3$）。
样本均值的期望与方差：$\overline{X}$ 的期望等于总体均值，方差为总体方差除以样本量。
样本方差的无偏性：若样本方差 $S^2$ 定义为 $\frac{1}{n-1}\sum (X_i - \overline{X})^2$，则 $E(S^2)=\text{Var}(X)$。
二次型表达式的期望：$\sum (X_i - \overline{X})^2$ 的期望为 $(n-1)\text{Var}(X)$。

破题关键点：

1. $\overline{A}(\overline{X})$（即 $E(\overline{X})$）

根据期望的线性性

$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21} X_i\right) = \frac{1}{21} \sum_{i=1}^{21} E(X_i) = \frac{1}{21} \cdot 21 \cdot 3 = 3.$

2. $D(\overline{X})$

根据方差的性质

$D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21} X_i\right) = \frac{1}{21^2} \cdot 21 \cdot \text{Var}(X) = \frac{3}{21} \approx 0.14.$

3. $B(S^2)$（即 $E(S^2)$）

样本方差的无偏性

若 $S^2 = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{21} (X_i - \overline{X})^2$，则：
$E(S^2) = \text{Var}(X) = 3.$
保留整数为 $3$。

4. $E\left[\sum_{i=1}^{21} (X_i - \overline{X})^2\right]$

根据二次型的期望公式

$E\left[\sum_{i=1}^{21} (X_i - \overline{X})^2\right] = (21-1) \cdot \text{Var}(X) = 20 \cdot 3 = 60.$