填空题（共16题，32.0分）29.（2.0分）已知向量组A:a_(1)=(1,2,3)^T,a_(2)=(1,2,0)^T,a_(3)=(t,1,-2)^T线性相关，则t=____.第1空

本题考查向量组线性相关的性质以及行列式的计算。解题思路是根据向量组线性相关的充要条件：若向量组构成的矩阵的行列式为$0$，则向量组线性相关。所以我们先将向量组构成矩阵，然后计算该矩阵的行列式，最后令行列式的值为$0$，解出$t$的值。

1. 构造矩阵：
   已知向量组$A:a_{1}=(1,2,3)^{T},a_{2}=(1,2,0)^{T},a_{3}=(t,1,-2)^{T}$，将其构成矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & t \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。
2. 计算行列式$\det(A)$：
   根据三阶行列式的展开法则$\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$（其中$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式），对于矩阵$A$，有：
   $\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + t \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}$
   分别计算二阶行列式：
   • 计算$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}$，根据二阶行列式计算公式$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad - bc$，可得$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=2\times(-2)-1\times0=-4$。
   • 计算$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$，同理可得$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}=2\times(-2)-1\times3=-4 - 3=-7$。
   • 计算$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}$，可得$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}=2\times0 - 2\times3=-6$。
     将上述结果代入$\det(A)$的表达式中，得到$\det(A)=1\times(-4)-1\times(-7)+t\times(-6)=-4 + 7 - 6t=3 - 6t$。
3. 求解$t$：
   因为向量组线性相关，所以$\det(A)=0$，即$3 - 6t = 0$。
   移项可得$6t = 3$，两边同时除以$6$，解得$t = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。