题目
若非齐次线性方程组=beta 的增广矩阵=beta 则当常数=beta 取下列（ ）值时，该方程组有无穷多个解。A.0B.3C.1D.2
若非齐次线性方程组
的增广矩阵
则当常数
取下列（ ）值时，该方程组有无穷多个解。
A.0
B.3
C.1
D.2
题目解答
答案
对增广矩阵进行行变换，将其化为阶梯形，有：
由题意知，n=3，
且该方程组有无穷多个解，则
∴
即：
∴当常数
时，该方程组有无穷多个解。故正确答案为C选项。
解析
步骤 1：化简增广矩阵
对增广矩阵进行行变换，将其化为阶梯形，有：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & a \\
1 & 1 & a & a \\
1 & 1 & a & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & a \\
0 & 0 & a-1 & a-a^2 \\
0 & 0 & a-1 & 1-a
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：确定方程组有无穷多个解的条件
由题意知，n=3，且该方程组有无穷多个解，则$r(A\quad \beta )=r(A)\lt 3$,
步骤 3：求解a的值
由步骤2的条件，我们有$a-1=0$，即$a=1$。
对增广矩阵进行行变换，将其化为阶梯形，有：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & a \\
1 & 1 & a & a \\
1 & 1 & a & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & a \\
0 & 0 & a-1 & a-a^2 \\
0 & 0 & a-1 & 1-a
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：确定方程组有无穷多个解的条件
由题意知，n=3，且该方程组有无穷多个解，则$r(A\quad \beta )=r(A)\lt 3$,
步骤 3：求解a的值
由步骤2的条件，我们有$a-1=0$，即$a=1$。