题目

在5件产品中，有3件正品、2件次品。现从中任取2件，以随机变量X表示其中的次品数，求：(1) X的分布律；(2) PX leqslant 1.

在5件产品中，有3件正品、2件次品。现从中任取2件，以随机变量X表示其中的次品数，求： (1) X的分布律； (2) $P\{X \leqslant 1\}$.

题目解答

答案

(1) 分布律
从5件产品（3件正品，2件次品）中任取2件，次品数 $X$ 可取0、1、2。

  • $P(X=0)$：取2件正品，概率为 $\frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10}$。
  • $P(X=1)$：取1件正品和1件次品，概率为 $\frac{C_3^1C_2^1}{C_5^2} = \frac{6}{10}$。
  • $P(X=2)$：取2件次品，概率为 $\frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}$。
    分布律：
    $\boxed{ \begin{array}{ccc} X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & \frac{3}{10} & \frac{6}{10} & \frac{1}{10} \\ \end{array} }$

(2) 概率 $P\{X \leq 1\}$
$P\{X \leq 1\} = P(X=0) + P(X=1) = \frac{3}{10} + \frac{6}{10} = \frac{9}{10}$。
答案：
$\boxed{\frac{9}{10}}$

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布律以及概率计算，涉及组合数的应用和超几何分布的理解。

解题核心思路：

  1. 确定随机变量的可能取值：根据题意，从2件次品中可能取到0、1、2件次品，因此X的取值为0、1、2。
  2. 计算各取值对应的概率：利用组合数公式，分别计算取出不同数量次品的概率。
  3. 验证概率和为1：确保所有概率之和为1，验证计算的正确性。
  4. 求事件概率：将满足条件的随机变量取值的概率相加。

破题关键点：

  • 组合数的正确应用：区分“取正品”和“取次品”的组合方式，正确使用乘法原理。
  • 超几何分布的识别：本题符合不放回抽样，属于超几何分布模型，可直接套用公式。

第（1）题：求分布律

确定X的可能取值

从2件次品中取0、1、2件，因此X的可能取值为0、1、2。

计算各取值的概率

  1. 当X=0时（取2件正品）：
    组合数为$\mathrm{C}_3^2$（从3件正品中选2件），总组合数为$\mathrm{C}_5^2$。
    $P(X=0) = \frac{\mathrm{C}_3^2}{\mathrm{C}_5^2} = \frac{3}{10}.$

  2. 当X=1时（取1件正品和1件次品）：
    组合数为$\mathrm{C}_3^1 \cdot \mathrm{C}_2^1$（从3件正品选1件，2件次品选1件）。
    $P(X=1) = \frac{\mathrm{C}_3^1 \cdot \mathrm{C}_2^1}{\mathrm{C}_5^2} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10}.$

  3. 当X=2时（取2件次品）：
    组合数为$\mathrm{C}_2^2$（从2件次品中选2件）。
    $P(X=2) = \frac{\mathrm{C}_2^2}{\mathrm{C}_5^2} = \frac{1}{10}.$

验证概率和为1

$\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1,$
计算正确。

第（2）题：求$P\{X \leqslant 1\}$

事件分析：$X \leqslant 1$对应X=0或X=1的情况，概率为两者之和。
$P\{X \leqslant 1\} = P(X=0) + P(X=1) = \frac{3}{10} + \frac{6}{10} = \frac{9}{10}.$