题目
4.设总体Xsim N(3,16)，X_(1),X_(2),...,X_(16)是来自总体X的一个样本，overline(X)为样本均值，则（）.A. overline(X)-3sim N(0,1)B. (4(overline(X)-3))/(} sim N(0,1)C. frac(overline{X)-3)(4) sim N(0,1)D. (overline(X)-3)/(16) sim N(0,1)
4.设总体$X\sim N(3,16)$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{16}$是来自总体X的一个样本，$\overline{X}$为样本均值，则（）.
A. $\overline{X}-3\sim N(0,1)$
B. $\frac{4(\overline{X}-3)}{} \sim N(0,1)$
C. $\frac{\overline{X}-3}{4} \sim N(0,1)$
D. $\frac{\overline{X}-3}{16} \sim N(0,1)$
题目解答
答案
A. $\overline{X}-3\sim N(0,1)$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
已知总体 $X \sim N(3, 16)$，样本大小 $n = 16$，样本均值 $\overline{X}$ 的分布为： \[ \overline{X} \sim N\left(3, \frac{16}{16}\right) = N(3, 1) \] 即 $\overline{X}$ 的均值为 3，方差为 1。
步骤 2：分析选项
(A) $\overline{X} - 3$ 的均值为 0，方差为 1，符合 $N(0, 1)$；
(B) $4(\overline{X} - 3)$ 的方差为 $16$，不符合；
(C) $\frac{\overline{X} - 3}{4}$ 的方差为 $\frac{1}{16}$，不符合；
(D) $\frac{\overline{X} - 3}{16}$ 的方差为 $\frac{1}{256}$，不符合。
已知总体 $X \sim N(3, 16)$，样本大小 $n = 16$，样本均值 $\overline{X}$ 的分布为： \[ \overline{X} \sim N\left(3, \frac{16}{16}\right) = N(3, 1) \] 即 $\overline{X}$ 的均值为 3，方差为 1。
步骤 2：分析选项
(A) $\overline{X} - 3$ 的均值为 0，方差为 1，符合 $N(0, 1)$；
(B) $4(\overline{X} - 3)$ 的方差为 $16$，不符合；
(C) $\frac{\overline{X} - 3}{4}$ 的方差为 $\frac{1}{16}$，不符合；
(D) $\frac{\overline{X} - 3}{16}$ 的方差为 $\frac{1}{256}$，不符合。