题目

设X与Y相互独立,且 sim N(0,1) sim (x)^2(5),-|||-则=dfrac (X)(sqrt {Y/4)}

$\begin {aligned} &设 X 与 Y 相互独立, 且 X {{\sim}} N(0,1), Y {{\sim}} \chi^2(5), \\&则 t=\frac{X}{\sqrt{Y / 4}} {{\sim}} \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &首先，我们已知 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标\\&准正态分布 N(0,1)，Y 服从自由度为 5 的卡方\\&分布 \chi^2(5)。 \\ &要求 t 的分布，我们可以使用定义 t 分布的方式\\&，即 t 是服从 t 分布的随机变量，其概率密度函\\&数为： \\ &f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \\ &其中，\nu 是自由度，\Gamma 是伽马函数。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &在这个问题中，t 的定义中涉及自由度 \nu，而自\\&由度 \nu 是由 Y 的分布确定的。具体来说，如果\\& Y {{\sim}} \chi^2(\nu)，那么 \nu 就是自由度。 \\ &在这里，Y {{\sim}} \chi^2(5)，所以 \nu = 5。将 \nu 替换到\\& t 的概率密度函数中： \\ &f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{5+1}{2}\right)}{\sqrt{5\pi}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{5}\right)^{-\frac{5+1}{2}} \\ &化简概率密度函数： \\ &f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{6}{2}\right)}{\sqrt{5\pi}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{5}\right)^{-\frac{6}{2}} \end {aligned}$ $\begin {aligned} &f(t) = \frac{\Gamma(3)}{\sqrt{5\pi}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{5}\right)^{-3} \\ &现在，我们可以看出 t 的分布是 t 分布，自由度\\&为 3，即 t {{\sim}} t(3)。所以答案是： \\ &t {{\sim}} t(3) \end {aligned}$