对于一个强度为 lambda 的泊松过程，在时间区间 [0, t] 内事件发生的次数 N(t) 服从参数为 lambda t 的泊松分布。那么，已知在 [0, t] 内恰好发生了一次事件，该事件到达时间 S_1 的分布是？A. 参数为 lambda t 的泊松分布B. 正态分布C. [0, t] 上的均匀分布D. 参数为 lambda 的指数分布

本题考查泊松过程的性质以及条件概率分布的知识。解题的关键思路是利用泊松过程的独立增量性和无后效性，通过计算条件概率来确定在已知$[0, t]$内恰好发生一次事件的条件下，该事件到达时间$S_1$的分布。

步骤一：明确已知条件

已知对于强度为$\lambda$的泊松过程，在时间区间$[0, t]$内事件发生的次数$N(t)$服从参数为$\lambda t$的泊松分布，即$N(t)\sim P(\lambda t)$，其概率质量函数为$P(N(t)=n)=\frac{(\lambda t)^n e^{-\lambda t}}{n!},n = 0,1,2,\cdots$。

步骤二：计算条件概率$P(S_1\leq s|N(t)=1)$

设$S_1$为第一次事件发生的时间，我们要求$S_1$在已知$N(t)=1$条件下的分布，即求$P(S_1\leq s|N(t)=1)$，其中$0\leq s\leq t$。
根据条件概率公式$P(S_1\leq s|N(t)=1)=\frac{P(S_1\leq s,N(t)=1)}{P(N(t)=1)}$。

步骤三：计算$P(S_1\leq s,N(t)=1)$

$P(S_1\leq s,N(t)=1)$表示第一次事件发生时间不超过$s$且在$[0, t]$内恰好发生一次事件的概率。
因为泊松过程具有独立增量性，所以$P(S_1\leq s,N(t)=1)=P(N(s)=1,N(t)-N(s)=0)$。
又因为泊松过程的独立增量性，$N(s)$与$N(t)-N(s)$相互独立，所以$P(N(s)=1,N(t)-N(s)=0)=P(N(s)=1)P(N(t)-N(s)=0)$。
已知$N(s)\sim P(\lambda s)$，$N(t)-N(s)\sim P(\lambda(t - s))$，则$P(N(s)=1)=\frac{(\lambda s)^1 e^{-\lambda s}}{1!}=\lambda s e^{-\lambda s}$，$P(N(t)-N(s)=0)=\frac{[\lambda(t - s)]^0 e^{-\lambda(t - s)}}{0!}=e^{-\lambda(t - s)}$。
所以$P(S_1\leq s,N(t)=1)=\lambda s e^{-\lambda s}\cdot e^{-\lambda(t - s)}=\lambda s e^{-\lambda t}$。

步骤四：计算$P(N(t)=1)$

由$N(t)\sim P(\lambda t)$，可得$P(N(t)=1)=\frac{(\lambda t)^1 e^{-\lambda t}}{1!}=\lambda t e^{-\lambda t}$。

步骤五：计算$P(S_1\leq s|N(t)=1)$

将$P(S_1\leq s,N(t)=1)=\lambda s e^{-\lambda t}$和$P(N(t)=1)=\lambda t e^{-\lambda t}$代入条件概率公式$P(S_1\leq s|N(t)=1)=\frac{P(S_1\leq s,N(t)=1)}{P(N(t)=1)}$，可得：
$P(S_1\leq s|N(t)=1)=\frac{\lambda s e^{-\lambda t}}{\lambda t e^{-\lambda t}}=\frac{s}{t},0\leq s\leq t$。

步骤六：确定$S_1$的分布

由于$P(S_1\leq s|N(t)=1)=\frac{s}{t},0\leq s\leq t$，这是$[0, t]$上均匀分布的累积分布函数，所以已知在$[0, t]$内恰好发生了一次事件，该事件到达时间$S_1$服从$[0, t]$上的均匀分布。