2.已知f(x)=e^-x^(2)，则f(x)在(1，+∞)上是（）。A. 单增，凸的B. 单减，凹的C. 单增，凹的D. 单减，凸的

本题考查函数的单调性与凹凸性，解题思路是先对函数求一阶导数，根据一阶导数的正负判断函数的单调性，再求二阶导数，根据二阶导数的正负判断函数的凹凸性。

1. 求函数$f(x)$的一阶导数$f^\prime(x)$

已知$f(x)=e^{-x^{2}}$，根据复合函数求导法则$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，令$u = -x^2$，则$u^\prime = -2x$，可得：
$f^\prime(x)=(e^{-x^{2}})^\prime=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2xe^{-x^{2}}$

2. 判断函数$f(x)$在$(1, +\infty)$上的单调性

当$x\in(1, +\infty)$时，$x\gt0$，$e^{-x^{2}}\gt0$，所以$f^\prime(x)=-2xe^{-x^{2}}\lt0$。
根据导数与函数单调性的关系：当函数的一阶导数小于$0$时，函数单调递减，可知$f(x)$在$(1, +\infty)$上单调递减。

3. 求函数$f(x)$的二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$

对$f^\prime(x)=-2xe^{-x^{2}}$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，令$u = -2x$，$v = e^{-x^{2}}$，则$u^\prime = -2$，$v^\prime = -2xe^{-x^{2}}$，可得：
$\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)&=(-2x)^\prime e^{-x^{2}} + (-2x)(e^{-x^{2}})^\prime\\&=-2e^{-x^{2}} + (-2x)\cdot(-2xe^{-x^{2}})\\&=-2e^{-x^{2}} + 4x^2e^{-x^{2}}\\&=(4x^2 - 2)e^{-x^{2}}\end{align*}$

4. 判断函数$f(x)$在$(1, +\infty)$上的凹凸性

当$x\in(1, +\infty)$时，$x^2\gt1$，则$4x^2 - 2\gt4\times1 - 2 = 2\gt0$，$e^{-x^{2}}\gt0$，所以$f^{\prime\prime}(x)=(4x^2 - 2)e^{-x^{2}}\gt0$。
根据导数与函数凹凸性的关系：当函数的二阶导数大于$0$时，函数是凹的，可知$f(x)$在$(1, +\infty)$上是凹的。

综上，$f(x)$在$(1, +\infty)$上是单减，凹的。