6.（单选题，5.0分）已知x^2y^2+y=1(y>0)确定了y是x的函数，则（）A. y(x)有极小值，但无极大值；B. y(x)有极大值，但无极小值；C. y(x)有极大值，又有极小值；D. y(x)无极值.

本题考查隐函数求导以及利用导数判断函数极值的知识点。解题思路是先通过隐函数求导法则求出$y$关于$x$的一阶导数$y'$，再根据$y'$的正负性判断函数的单调性，进而确定函数的极值情况。

1. 对给定方程$x^{2}y^{2}+y = 1(y\gt0)$两边同时对$x$求导：
   根据求导的乘法法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对$x^{2}y^{2}$求导，其中$u = x^{2}$，$v = y^{2}$，则$(x^{2}y^{2})^\prime=(x^{2})^\prime y^{2}+x^{2}(y^{2})^\prime$。
   • 因为$(x^{2})^\prime = 2x$，$(y^{2})^\prime = 2y\cdot y'$（复合函数求导），所以$(x^{2}y^{2})^\prime = 2xy^{2}+2x^{2}yy'$。
   • 方程右边$1$的导数为$0$，$y$的导数为$y'$。
   • 则求导后的方程为$2xy^{2}+2x^{2}yy'+y' = 0$。
2. 求解$y'$：
   将含有$y'$的项合并，得到$y'(2x^{2}y + 1)= - 2xy^{2}$，那么$y'=\frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y + 1}$。
3. 求函数的驻点：
   令$y' = 0$，即$\frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y + 1}=0$，因为$y\gt0$，所以$2x^{2}y + 1\neq0$，则$-2xy^{2}=0$，解得$x = 0$。
4. 判断函数的单调性：
   • 当$x\lt0$时，$y'\gt0$，这说明函数$y(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增。
   • 当$x\gt0$时，$y'\lt0$，这说明函数$y(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。
5. 确定函数的极值：
   根据函数单调性可知，函数$y(x)$在$x = 0$处左增右减，所以$y(x)$在$x = 0$处取得极大值，无极小值。