14. (5.0分) 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则方程x^2+Xx+1=0无实根的概率为（）.A. eB. 1-eC. 1-e^-2

本题考查指数分布的概率计算以及一元二次方程根的判别式。解题的关键思路是先根据一元二次方程无实根的条件得出随机变量$X$的取值范围，再结合指数分布的概率密度函数计算该取值范围对应的概率。

1. 根据一元二次方程根的判别式确定$X$的取值范围：
   对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$。当$\Delta\lt0$时，方程无实根。
   在方程$x^{2}+Xx + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = X$，$c = 1$，则$\Delta = X^{2}-4\times1\times1=X^{2}-4$。
   令$\Delta\lt0$，即$X^{2}-4\lt0$，解这个不等式：
   $X^{2}-4\lt0$可转化为$(X - 2)(X + 2)\lt0$，其解为$-2\lt X\lt2$。
2. 确定随机变量$X$的概率密度函数：
   已知随机变量$X$服从参数为$1$的指数分布，指数分布的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$，其中$\lambda$为参数。
   因为$\lambda = 1$，所以$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$。
3. 计算方程无实根的概率$P(-2\lt X\lt2)$：
   根据概率的计算公式$P(-2\lt X\lt2)=\int_{-2}^{2}f(x)dx$，结合$f(x)$的表达式可得：
   $P(-2\lt X\lt2)=\int_{-2}^{0}0dx+\int_{0}^{2}e^{-x}dx$
   因为$\int_{-2}^{0}0dx = 0$，所以$P(-2\lt X\lt2)=\int_{0}^{2}e^{-x}dx$。
   根据积分公式$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C$（$C$为常数），则$\int_{0}^{2}e^{-x}dx=-\left.e^{-x}\right|_{0}^{2}$。
   根据牛顿 - 莱布尼茨公式$F(x)\big|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，可得：
   $-\left.e^{-x}\right|_{0}^{2}=-(e^{-2}-e^{0})=1 - e^{-2}$