3.设总体X的分布律为-|||-X 0 1 2 3-|||-概率 θ(1-θ) θ^2 dfrac (theta (1-theta ))(2) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_fe8fc2590dd3d4bf33e77269ae43e19e.jpg-theta -|||-2-|||-其中θ未知 lt theta lt 1. 现从总体中抽取样本大小为10的简单随机样本,得到样本观测值为0,0,1,2,-|||-2,3,3,3,0,2.分别求参数θ的矩估计值和最大似然估计值.

步骤 1：计算样本均值
根据样本观测值0,0,1,2,2,3,3,0,0,2，计算样本均值 $\overline{X}$。
步骤 2：求解矩估计量
利用总体X的分布律，计算总体均值 $E(X)$，并根据矩估计原理，令 $E(X) = \overline{X}$，求解参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$。
步骤 3：求解最大似然估计量
根据样本观测值，写出似然函数 $L(\theta)$，并求解对数似然函数 $\ln L(\theta)$，通过求导数并令其等于0，求解参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$。
【答案】
【解析】
步骤 1：计算样本均值
样本观测值为0,0,1,2,2,3,3,0,0,2，计算样本均值 $\overline{X}$：
$$
\overline{X} = \frac{0+0+1+2+2+3+3+0+0+2}{10} = \frac{13}{10} = 1.3
$$
步骤 2：求解矩估计量
根据总体X的分布律，计算总体均值 $E(X)$：
$$
E(X) = 0 \cdot \theta(1-\theta) + 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot \theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2
$$
$$
= \theta^2 + 2\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2
$$
$$
= \theta^2 + 2\theta - 2\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2
$$
$$
= 2\theta^2 - 4\theta + 3
$$
根据矩估计原理，令 $E(X) = \overline{X}$，求解参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$：
$$
2\theta^2 - 4\theta + 3 = 1.3
$$
$$
2\theta^2 - 4\theta + 1.7 = 0
$$
解得：
$$
\theta = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1.7}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 13.6}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{2.4}}{4}
$$
$$
\theta = \frac{4 \pm 1.55}{4}
$$
$$
\theta = 1.3875 \text{ 或 } \theta = 0.6125
$$
由于 $0 < \theta < 1$，所以 $\hat{\theta} = 0.6125$。
步骤 3：求解最大似然估计量
根据样本观测值，写出似然函数 $L(\theta)$：
$$
L(\theta) = [\theta(1-\theta)]^3 \cdot \theta^2 \cdot [\theta(1-\theta)]^2 \cdot (1-\theta)^3
$$
$$
= \theta^5 (1-\theta)^5
$$
对数似然函数为：
$$
\ln L(\theta) = 5 \ln \theta + 5 \ln (1-\theta)
$$
求导数并令其等于0：
$$
\frac{d \ln L(\theta)}{d\theta} = \frac{5}{\theta} - \frac{5}{1-\theta} = 0
$$
解得：
$$
\theta = \frac{1}{2}
$$