1． 设随机变量 X 满足 E (X ) = Var(X ) = λ ，已知 E [(X − 1) (X − 2)] = 1，试求λ ．

考查要点：本题主要考查期望与方差的关系以及代数运算能力。需要利用方差的定义式，将已知条件转化为关于λ的方程，进而求解。

解题核心思路：

1. 利用方差公式：已知Var(X) = E(X²) - [E(X)]²，结合题目中E(X) = Var(X) = λ，可求出E(X²)。
2. 展开并计算期望：将E[(X−1)(X−2)]展开为E(X²−3X+2)，利用期望的线性性质逐项计算。
3. 建立方程求解：将上述结果代入已知条件E[(X−1)(X−2)] = 1，得到关于λ的二次方程，解方程即可。

破题关键点：正确展开表达式并代入期望与方差的关系式，避免代数运算错误。

步骤1：计算E(X²)
根据方差定义：
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
代入已知条件E(X) = Var(X) = λ，得：
$E(X^2) = \lambda + \lambda^2$

步骤2：展开并计算E[(X−1)(X−2)]
展开表达式：
$(X−1)(X−2) = X^2 - 3X + 2$
利用期望的线性性质：
$\begin{aligned}E[(X−1)(X−2)] &= E(X^2 - 3X + 2) \\&= E(X^2) - 3E(X) + 2 \\&= (\lambda + \lambda^2) - 3\lambda + 2 \\&= \lambda^2 - 2\lambda + 2\end{aligned}$

步骤3：建立方程并求解
根据题意，E[(X−1)(X−2)] = 1，因此：
$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 1$
整理方程：
$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$
因式分解得：
$(\lambda - 1)^2 = 0$
解得：
$$
\lambda = 1

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