不定积分int sin^2 (x)/(2) dx = ____________
不定积分$\int \sin^2 \frac{x}{2} dx = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$
题目解答
答案
我们来计算不定积分：
$\int \sin^2 \frac{x}{2} \, dx$
第一步：使用三角恒等式
我们使用三角恒等式来简化 $\sin^2 \frac{x}{2}$：
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$
令 $\theta = \frac{x}{2}$，则：
$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$
第二步：代入积分表达式
将上式代入原积分：
$\int \sin^2 \frac{x}{2} \, dx = \int \frac{1 - \cos x}{2} \, dx$
将常数 $\frac{1}{2}$ 提出：
$= \frac{1}{2} \int (1 - \cos x) \, dx$
第三步：分别积分
$\int (1 - \cos x) \, dx = \int 1 \, dx - \int \cos x \, dx = x - \sin x$
所以：
$\frac{1}{2} \int (1 - \cos x) \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x)$
第四步：加上积分常数
$\int \sin^2 \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x) + C$
最终答案：
$\boxed{\frac{1}{2}(x - \sin x) + C}$
解析
考查要点：本题主要考查利用三角恒等式简化被积函数，并计算不定积分的能力。
解题核心思路：将$\sin^2 \frac{x}{2}$通过三角恒等式转化为不含平方的形式，从而简化积分过程。
破题关键点：正确应用半角公式，将$\sin^2 \theta$转化为$\frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，并代入$\theta = \frac{x}{2}$，进一步展开积分。
步骤1：应用三角恒等式
利用三角恒等式$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，令$\theta = \frac{x}{2}$，则：
$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$
步骤2：代入积分表达式
将原积分转化为：
$\int \sin^2 \frac{x}{2} \, dx = \int \frac{1 - \cos x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos x) \, dx$
步骤3：分项积分
分别对$1$和$\cos x$积分：
$\int (1 - \cos x) \, dx = \int 1 \, dx - \int \cos x \, dx = x - \sin x$
步骤4：整理结果并添加常数
将结果代入并整理：
$\frac{1}{2}(x - \sin x) + C$