题目

1.一药厂为了解其生产的某药物(同一批次)之有效成分含量是否符合国家规定的标准，随机抽取了该药10片，得其样本均数为103.0mg，标准差为2.22mg。试估计该批药剂有效成分的平均含量。

题目解答

答案

点估计：
样本均数为103.0 mg，故总体均数的点估计为103.0 mg。

区间估计：
样本大小 $n=10$，标准差 $s=2.22$ mg，自由度 $\nu=9$。
标准误 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.22}{\sqrt{10}} \approx 0.702$ mg。
查 t 表得 $t_{0.025,9} = 2.262$， margin of error $ME = t_{0.025,9} \times SE \approx 1.588$ mg。
95% 置信区间为 $\bar{x} \pm ME$，即 $(103.0 - 1.588, 103.0 + 1.588) \approx (101.41, 104.59)$ mg。

答案：
点估计：$\boxed{103.0 \text{ mg}}$
95% 置信区间：$\boxed{(101.41, 104.59) \text{ mg}}$（或更精确地，$(101.42, 104.58) \text{ mg}$）。

（注：题目要求估计平均含量，点估计即可，置信区间为补充信息。）

解析

本题考查总体均数的点估计和区间估计的知识。解题思路如下：

点估计：
- 点估计是用样本统计量直接作为总体参数的估计值。在估计总体均数时，通常用样本均数 $\bar{x}$ 作为总体均数 $\mu$ 的点估计值。本题中已知样本均数 $\bar{x} = 103.0$mg，所以总体均数的点估计值就是样本均数的值。
区间估计：
- 当总体标准差 $\sigma$ 未知，且样本量 $n$ 较小时（一般 $n < 30$），使用 $t$ 分布来构造总体均数的置信区间。
- 首先计算标准误 $SE$，其计算公式为 $SE=\frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。本题中 $n = 10$，$s = 2.22$mg，将其代入公式可得：
  $SE=\frac{2.22}{\sqrt{10}}\approx\frac{2.22}{3.1623}\approx0.702\text{mg}$
- 然后确定自由度 $\nu=n - 1$，本题中 $\nu=10 - 1 = 9$。对于 95% 的置信区间，双侧 $\alpha=0.05$，则单侧 $\alpha/2 = 0.025$。通过查 $t$ 分布表，得到 $t_{0.025,9}=2.262$。
- 接着计算边际误差 $ME$，公式为 $ME = t_{\alpha/2,\nu}\times SE$，将 $t_{0.025,9}=2.262$ 和 $SE\approx0.702$mg 代入可得：
  $ME=2.262\times0.702\approx1.588\text{mg}$
- 最后，95% 置信区间为 $\bar{x}\pm ME$，将 $\bar{x} = 103.0$mg 和 $ME\approx1.588$mg 代入可得：
  $(103.0 - 1.588,103.0 + 1.588)=(101.41,104.59)\text{mg}$
  如果计算更精确，$SE=\frac{2.22}{\sqrt{10}}\approx0.70248$，$ME = 2.262\times0.70248\approx1.589$，则 95% 置信区间为 $(103.0 - 1.589,103.0 + 1.589)=(101.411,104.589)\approx(101.42,104.58)\text{mg}$。