题目
我国某城市男子的平均身高(单位为cm)服从正态分布N(168,36)。为使99%以上的男子上公共汽车不致在车门上碰头,当地的公共汽车门框应设计成多少厘米的高度?
我国某城市男子的平均身高(单位为cm)服从正态分布N(168,36)。为使99%以上的男子上公共汽车不致在车门上碰头,当地的公共汽车门框应设计成多少厘米的高度?
题目解答
答案
解:设该市男子身高为随机变量X,由题意X~N (168,62)。(1分)
设当地公共汽车门框的高度为Y cm,则由题意有
.(4分)
即
,(3分)
查表得:
,
,
,(3分)
即当地公共汽车门框的高度至少为182cm。(1分)
评分标准:根据上述步骤给分;缺少必要推理步骤的,酌情给分,但只有结果没有过程的不得分。不写单位或者单位不正确的,扣掉1分。
解析
步骤 1：确定随机变量和分布
设该市男子身高为随机变量X，由题意X~N(168,6^2)。其中，168是平均身高，6^2是方差，6是标准差。
步骤 2：设定门框高度
设当地公共汽车门框的高度为Y cm，由题意有$P(X\leqslant Y)\geqslant 0.99$。即99%以上的男子身高不超过Y cm。
步骤 3：利用正态分布的性质
根据正态分布的性质，$P(X\leqslant Y)=\Phi (\dfrac {Y-168}{6})\geqslant 0.99$。其中，$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：查表求解
查标准正态分布表，找到$\Phi(z)=0.99$对应的z值，即$z=2.33$。因此，$\dfrac {Y-168}{6}\geqslant 2.33$。
步骤 5：计算门框高度
解不等式$Y-168\geqslant 6\times 2.33$，得到$Y\geqslant 168+6\times 2.33$。计算得到$Y\geqslant 182$。
设该市男子身高为随机变量X，由题意X~N(168,6^2)。其中，168是平均身高，6^2是方差，6是标准差。
步骤 2：设定门框高度
设当地公共汽车门框的高度为Y cm，由题意有$P(X\leqslant Y)\geqslant 0.99$。即99%以上的男子身高不超过Y cm。
步骤 3：利用正态分布的性质
根据正态分布的性质，$P(X\leqslant Y)=\Phi (\dfrac {Y-168}{6})\geqslant 0.99$。其中，$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：查表求解
查标准正态分布表，找到$\Phi(z)=0.99$对应的z值，即$z=2.33$。因此，$\dfrac {Y-168}{6}\geqslant 2.33$。
步骤 5：计算门框高度
解不等式$Y-168\geqslant 6\times 2.33$，得到$Y\geqslant 168+6\times 2.33$。计算得到$Y\geqslant 182$。