题目

填空题（共10题，30.0分）37.（3.0分）已知向量组I：a_(1)=(1,1,0,3),a_(2)=(2,2,2,7),a_(3)=(-1,-1,0,-1)。又知向量组Ⅱ是线性无关的且与I等价的向量组，则向量组Ⅱ中向量个数为____.

填空题（共10题，30.0分） 37.（3.0分）已知向量组I：$a_{1}=(1,1,0,3),a_{2}=(2,2,2,7),a_{3}=(-1,-1,0,-1)$。又知向量组Ⅱ是线性无关的且与I等价的向量组，则向量组Ⅱ中向量个数为____.

题目解答

答案

将向量组 $I$ 的向量构成矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 7 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
对 $A$ 进行初等行变换：

  1. $r_2 - 2r_1$，得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
  2. $r_3 + r_1$，得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
  3. 交换 $r_2$ 和 $r_3$，得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
  4. $r_3 \leftrightarrow r_2$，得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。

最终，矩阵化简为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，秩为 3。
由于向量组 $II$ 与 $I$ 等价且线性无关，其向量个数等于 $I$ 的秩，即 3。

答案：3

解析

本题考查向量组等价、线性无关以及向量组秩的相关知识。解题的关键思路是先求出向量组$I$的秩，再根据向量组等价和线性无关的的性质确定向量组$II$中向量的个数。

  1. 构造矩阵：
    • 已知向量组$I$：$\(\vec{a}_{1}=(1,1,0,3),\vec{a}_{2}=(2,2,2,7),\vec{a}_{3}=(-1,-1,0,-1))$，将向量组$I$的向量按列构成矩阵$这里按行构成矩阵不影响秩的计算) \(A=\begin{pmatrix}1&1&0&3\\2&2&2&7\\ -1&-1&0&-1\end{pmatrix}$。
  2. 进行初等行变换求矩阵的秩：**
    • 第一步，$r_2 - 2r_1$，即第二行减去第一行的$2\(2$倍，根据矩阵初等行变换规则$R_i - kR_j$（$i\neq j$），这里$i = 2$，$j = 1$，$k = 2$，得到$\(\begin{pmatrix}1&1&0&3\\2 - 2\times1&2-2\times1&2 - 2\times0&7-2\times3\\ -1&-1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&0&3\\0&0&2&1\\ -1&-1&0&-1\end{pmatrix}$。
    • 第二步，$r_3 + r_1$，即第三行加上第一行，根据矩阵初等行变换规则$R_i + kR_j$（$i\neq j$），这里$i = 3$，$j = 1$，$k = 1$，得到$\begin{pmatrix}1&1&0&3\\0&0&2&1\\0+( - 1)&0+( - 1)&0 + 0&-1+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&0&3\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}$。
    • 此时矩阵$\begin{pmatrix}1&1&0&3\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}$已经是行阶梯形矩阵，非零行的行数为$3$，根据矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的非零行的行数，所以矩阵$A$的秩$r(A)=3$，即向量组$I$的秩为$3$。
  3. 根据向量组等价和线性无关的性质确定向量组$II$中向量个数：
    • 因为向量组$II$与向量组$I$等价，根据等价向量组组具有相同的秩，所以向量组$II$的秩也为$3$。
    • 又因为向量组$II$是线性无关的，而线性无关向量组的秩等于向量组中向量的个数，所以向量组$II$中向量的个数为$3$。