两样本中的每个数据减同一常数后，再作其t检验，则（ ）。A. t值不变B. t值变小C. t值变大D. 无法判断t值变大还是变小

本题考查t检验的基本原理以及数据变换对t值的影响。解题的关键在于明确t检验统计量的计算公式，然后分析每个数据减去同一常数后，公式中各参数的变化情况。

t检验统计量的计算公式为：$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}}$，其中$\bar{X}_1$和$\bar{X}_2$分别是两个样本的均值，$S_{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}$是两样本均值差的标准误。

设两个样本分别为$X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}$和$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}$，每个数据都减去常数$c$后，新的样本为$X_1 - c,X_2 - c,\cdots,X_{n_1} - c$和$Y_1 - c,Y_2 - c,\cdots,Y_{n_2} - c$。

1. 计算新样本的均值：

   • 原样本$X$的均值$\bar{X}=\frac{1}{n_1}\sum_{i = 1}^{n_1}X_i$，新样本$X - c$的均值$\bar{X}'=\frac{1}{n_1}\sum_{i = 1}^{n_1}(X_i - c)$。
     根据求和的性质$\sum_{i = 1}^{n_1}(X_i - c)=\sum_{i = 1}^{n_1}X_i - n_1c$，则$\bar{X}'=\frac{1}{n_1}(\sum_{i = 1}^{n_1}X_i - n_1c)=\bar{X}-c$。
   • 同理，原样本$Y$的均值$\bar{Y}=\frac{1}{n_2}\sum_{j = 1}^{n_2}Y_j$，新样本$Y - c$的均值$\bar{Y}'=\frac{1}{n_2}\sum_{j = 1}^{n_2}(Y_j - c)=\bar{Y}-c$。
   • 那么新的两样本均值差为$\bar{X}' - \bar{Y}' = (\bar{X}-c)-(\bar{Y}-c)=\bar{X}-\bar{Y}$，即两样本均值差不变。

2. 计算新样本的方差：

   • 原样本$X$的方差$S_X^2=\frac{1}{n_1 - 1}\sum_{i = 1}^{n_1}(X_i - \bar{X})^2$，新样本$X - c$的方差$S_X'^2=\frac{1}{n_1 - 1}\sum_{i = 1}^{n_1}[(X_i - c)-(\bar{X}-c)]^2$。
     因为$(X_i - c)-(\bar{X}-c)=X_i - \bar{X}$，所以$S_X'^2 = S_X^2$。
   • 同理，原样本$Y$的方差$S_Y^2=\frac{1}{n_2 - 1}\sum_{j = 1}^{n_2}(Y_j - \bar{Y})^2$，新样本$Y - c$的方差$S_Y'^2 = S_Y^2$。

3. 计算新样本均值差的标准误：
   两样本均值差的标准误$S_{\bar{X}-\bar{Y}}=\sqrt{\frac{S_X^2}{n_1}+\frac{S_Y^2}{n_2}}$，由于$S_X'^2 = S_X^2$，$S_Y'^2 = S_Y^2$，所以新的两样本均值差的标准误$S_{\bar{X}'-\bar{Y}'}=S_{\bar{X}-\bar{Y}}$。

4. 计算新的t值：
   新的t值$t'=\frac{\bar{X}' - \bar{Y}'}{S_{\bar{X}' - \bar{Y}'}}$，因为$\bar{X}' - \bar{Y}' = \bar{X}-\bar{Y}$，$S_{\bar{X}' - \bar{Y}'}=S_{\bar{X}-\bar{Y}}$，所以$t' = t$，即t值不变。