题目
7.(判断题) 答案支持对/错。二维随机变量(X,Y)sim N(mu_(1),mu_(2),sigma_(1)^2,sigma_(2)^2;rho),则X与Y相互独立的充要条件是rho=0。A 对B 错
7.(判断题)
答案支持对/错。二维随机变量(X,Y)$\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho)$,则X与Y相互独立的充要条件是$\rho=0$。
A 对
B 错
题目解答
答案
对于二维正态分布 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)$，相关系数 $\rho$ 刻画了 $X$ 和 $Y$ 的线性相关程度。
- **必要性**：若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则联合密度可分解为边缘密度的乘积，对应 $\rho = 0$。
- **充分性**：当 $\rho = 0$ 时，联合密度函数变为两边缘密度的乘积，即 $X$ 与 $Y$ 独立。
因此，$X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $\rho = 0$。
答案：$\boxed{A}$
解析
对于二维正态分布 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)$，相关系数 $\rho$ 描述了 $X$ 和 $Y$ 之间的线性相关程度。当 $\rho = 0$ 时，$X$ 和 $Y$ 的联合密度函数可以分解为两个边缘密度函数的乘积，这表明 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的。反之，如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，它们的联合密度函数可以分解为边缘密度函数的乘积，这对应于 $\rho = 0$。因此，$X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $\rho = 0$。