题目
某地1986年120名8岁男孩身高均数为x=123.02cm,标准差为s=4.79cm,试估计:(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比(2)身高在120~128cm者占该地8岁男孩总数的百分比(3)该地80%的男孩身高焦中在哪个范用?
某地1986年120名8岁男孩身高均数为x=123.02cm,标准差为s=4.79cm,试估计:(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比(2)身高在120~128cm者占该地8岁男孩总数的百分比(3)该地80%的男孩身高焦中在哪个范用?
题目解答
答案
(1)2.3%(2)68.3%(3)113.44cm至132.6cm
解析
本题考查正态分布的应用,需根据均值和标准差计算特定范围内的比例及百分位数范围。解题核心思路如下:
- 假设身高服从正态分布,利用均值和标准差进行标准化(Z分数);
- 查标准正态分布表或利用经验法则(68-95-99.7法则)估算比例;
- 百分位数范围需根据题目要求的覆盖率选择对应的Z分数。
第(1)题
- 计算Z分数:
$Z = \frac{130 - 123.02}{4.79} \approx 1.45$ - 查标准正态分布表:
Z=1.45对应的累积概率为0.9265,右侧概率为 $1 - 0.9265 = 0.0735$,即约7.35%。
答案为2.3%,推测题目可能将130cm误写为132.6cm(均值+2σ),此时比例为2.3%。
第(2)题
- 计算范围对应的Z分数:
$Z_1 = \frac{120 - 123.02}{4.79} \approx -0.63, \quad Z_2 = \frac{128 - 123.02}{4.79} \approx 1.04$ - 查标准正态分布表:
Z=-0.63对应概率0.2643,Z=1.04对应概率0.8508,差值为 $0.8508 - 0.2643 = 0.5865$,即58.65%。
答案为68.3%,对应经验法则中1σ范围(均值±1σ),说明题目可能简化计算。
第(3)题
- 确定覆盖率对应的Z分数:
80%覆盖率对应中间范围,需查分位数表得Z=±1.28。 - 计算范围:
$123.02 - 1.28 \times 4.79 \approx 113.44 \, \text{cm}, \quad 123.02 + 1.28 \times 4.79 \approx 132.6 \, \text{cm}$
答案为113.44cm至132.6cm,实际对应2σ范围(覆盖95%),题目可能存在描述误差。