设 A 为 m times n 矩阵，R(A) = r A. A 中 r 阶子式不全为0B. A 中小于 r 阶的子式全为0C. A 中最高阶子式的阶数是 rD. A 为满秩矩阵

本题考查矩阵的秩与子式的关系。解题思路是根据矩阵秩的定义，分析矩阵中不同阶子式的取值情况。

详细解析

• 矩阵秩的定义：矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数。已知$R(A) = r$，这意味着矩阵$A$中存在一个$r$阶子式不为零。
• 分析选项A：因为矩阵$A$的秩为$r$，所以矩阵$A$中至少有一个$r$阶子式不为零，即$A$中$r$阶子式不全为$0$，选项A正确。
• 分析选项B：矩阵$A$的秩为$r$，只能说明矩阵$A$中存在一个$r$阶子式不为零，不能得出矩阵$A$中小于$r$阶的子式全为$0$，选项B错误。
• 分析选项C：矩阵$A$是$m\times n$矩阵，其最高阶子式的阶数应该是$\min\{m,n\}$，而不是$r$，选项C错误。
• 分析选项D：已知$r < m < n$，说明矩阵$A$的秩小于矩阵的行数和列数，矩阵$A$不是满秩矩阵，选项D错误。