题目
2.单选题(2分)-|||-设 backsim N(1,4), ϕ(x) 为标准正态分布的分布函数,则-|||-P lt xlt 2 __-|||-A https:/img.zuoyebang.cc/zyb_c234d9988cb6ef6dd3ea9c85d3d93e43.jpg-(1)(0.5)-|||-B (p(0.5)+(p(-0.5)-|||-C (p(0.5)-1-|||-D (p(-0.5)-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
$X\sim N(1,4)$ 表示随机变量 $X$ 服从均值为 $1$，方差为 $4$ 的正态分布。标准正态分布的分布函数记为 $\phi(x)$，它表示随机变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ 时，$P(Z \leq x)$ 的值。
步骤 2：将 $X$ 的分布转换为标准正态分布
为了利用标准正态分布的分布函数 $\phi(x)$，我们需要将 $X$ 的分布转换为标准正态分布。对于 $X\sim N(1,4)$，我们有 $Z = \frac{X - 1}{2}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：计算 $P(0 < X < 2)$
$P(0 < X < 2) = P\left(\frac{0 - 1}{2} < \frac{X - 1}{2} < \frac{2 - 1}{2}\right) = P(-0.5 < Z < 0.5)$
$= \phi(0.5) - \phi(-0.5)$
由于 $\phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数，它具有对称性，即 $\phi(-x) = 1 - \phi(x)$。因此，$\phi(-0.5) = 1 - \phi(0.5)$。
$P(-0.5 < Z < 0.5) = \phi(0.5) - (1 - \phi(0.5)) = 2\phi(0.5) - 1$
$X\sim N(1,4)$ 表示随机变量 $X$ 服从均值为 $1$，方差为 $4$ 的正态分布。标准正态分布的分布函数记为 $\phi(x)$，它表示随机变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ 时，$P(Z \leq x)$ 的值。
步骤 2：将 $X$ 的分布转换为标准正态分布
为了利用标准正态分布的分布函数 $\phi(x)$，我们需要将 $X$ 的分布转换为标准正态分布。对于 $X\sim N(1,4)$，我们有 $Z = \frac{X - 1}{2}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：计算 $P(0 < X < 2)$
$P(0 < X < 2) = P\left(\frac{0 - 1}{2} < \frac{X - 1}{2} < \frac{2 - 1}{2}\right) = P(-0.5 < Z < 0.5)$
$= \phi(0.5) - \phi(-0.5)$
由于 $\phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数，它具有对称性，即 $\phi(-x) = 1 - \phi(x)$。因此，$\phi(-0.5) = 1 - \phi(0.5)$。
$P(-0.5 < Z < 0.5) = \phi(0.5) - (1 - \phi(0.5)) = 2\phi(0.5) - 1$