2.单选题(2分)-|||-设 backsim N(1,4), ϕ(x) 为标准正态分布的分布函数,则-|||-P lt xlt 2 __-|||-A https:/img.zuoyebang.cc/zyb_c234d9988cb6ef6dd3ea9c85d3d93e43.jpg-(1)(0.5)-|||-B (p(0.5)+(p(-0.5)-|||-C (p(0.5)-1-|||-D (p(-0.5)-1

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换及标准正态分布函数的性质。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将给定的正态分布变量转化为标准正态变量，利用标准正态分布函数ϕ(x)计算概率。
2. 对称性应用：利用标准正态分布的对称性（Φ(-a) = 1 - Φ(a)），简化表达式。

破题关键点：

• 正确写出标准化后的Z值范围：$\frac{0-1}{2} = -0.5$ 和 $\frac{2-1}{2} = 0.5$。
• 将概率表达式转化为Φ(0.5) - Φ(-0.5)，并利用对称性进一步化简。

标准化过程：

• 已知$X \sim N(1,4)$，即均值μ=1，标准差σ=2。
• 标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，因此：
  • 当$X=0$时，$Z = \frac{0-1}{2} = -0.5$；
  • 当$X=2$时，$Z = \frac{2-1}{2} = 0.5$。

概率计算：

• 原概率可表示为：
  $P(0 < X < 2) = P(-0.5 < Z < 0.5)$
• 根据标准正态分布函数的定义：
  $P(-0.5 < Z < 0.5) = \Phi(0.5) - \Phi(-0.5)$

对称性化简：

• 利用Φ(-a) = 1 - Φ(a)，得：
  $\Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5)$
• 代入原式：
  $\Phi(0.5) - (1 - \Phi(0.5)) = 2\Phi(0.5) - 1$

选项匹配：

• 选项C为$2\Phi(0.5) - 1$，与推导结果一致。