设总体 X sim N(mu, sigma^2), X_1, X_2, ldots, X_n 是总体X的样本, 下列结论不正确的是().A. (overline(X) - mu)/(sigma / sqrt(n)) sim N(0,1)B. (overline(X) - mu)/(S / sqrt(n)) sim t(n-1)C. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2 sim chi^2(n-1)D. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2 sim chi^2(n-1)

本题考查正态总体样本函数的分布，涉及标准正态分布、t分布和卡方分布的应用条件。解题核心在于：

1. 样本均值的分布：$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$；
2. 标准化处理：用样本标准差$S$代替总体标准差$\sigma$时，统计量服从$t$分布；
3. 卡方分布的自由度：若平方和中使用总体均值$\mu$，自由度为$n$；若使用样本均值$\overline{X}$，自由度为$n-1$。

选项A

$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

• 样本均值$\overline{X}$服从$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后服从标准正态分布，正确。

选项B

$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$

• 当总体方差未知时，用样本标准差$S$代替$\sigma$，统计量服从自由度为$n-1$的$t$分布，正确。

选项C

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n-1)$

• 错误。$\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2$服从$\chi^2(n)$，自由度为$n$，而非$n-1$。

选项D

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$

• 使用样本均值$\overline{X}$，平方和为样本方差的$(n-1)$倍，除以$\sigma^2$后服从$\chi^2(n-1)$，正确。