题目
求下列函数的导数或微分：（1）y=x+sqrt(x)+root(3)(x)，求y′．（2）y=xlnx+(lnx)/(x)，求(dy)/(dx)．（3）y=（sqrt(x)+1）•（(1)/(sqrt(x))-1），求dy．（4）f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），求f′（1）．（5）y=(1+x)/(1-x)，求dy．（6）y=(sinx)/(1+cosx)，求y′．（7）y=ex•（sinx+cosx），求y′|x=0．
求下列函数的导数或微分：
（1）y=x+$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，求y′．
（2）y=xlnx+$\frac{lnx}{x}$，求$\frac{dy}{dx}$．
（3）y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1），求dy．
（4）f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），求f′（1）．
（5）y=$\frac{1+x}{1-x}$，求dy．
（6）y=$\frac{sinx}{1+cosx}$，求y′．
（7）y=ex•（sinx+cosx），求y′|x=0．
（1）y=x+$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，求y′．
（2）y=xlnx+$\frac{lnx}{x}$，求$\frac{dy}{dx}$．
（3）y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1），求dy．
（4）f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），求f′（1）．
（5）y=$\frac{1+x}{1-x}$，求dy．
（6）y=$\frac{sinx}{1+cosx}$，求y′．
（7）y=ex•（sinx+cosx），求y′|x=0．
题目解答
答案
解：（1）y'=1+$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$=1+$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\root{3}{{x}^{2}}}$；
（2）$\frac{dy}{dx}=lnx+1+\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
（3）由y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）=1-$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1$=$\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$，
y'$-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$，
故dy=$-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$dx；
（4）f（x）=（x-1）x（x-2）（x-3），
由f'（x）=x（x-2）（x-3）+（x-1）[x（x-2）（x-3）]'，
故f'（x）=1×（1-2）（1-3）=2；
（5）dy=$\frac{1-x+（1+x）}{（1-x）^{2}}dx=\frac{2}{（1-x）^{2}}dx$；
（6）$y'=\frac{cosx（1+cosx）+sinx•sinx}{（1+cosx）^{2}}=\frac{cosx}{（1+cosx）^{2}}$；
（7）y'=ex（sinx+cosx+cosx-sinx）=2excosx，
故y′|x=0=2×1×1=2．
（2）$\frac{dy}{dx}=lnx+1+\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
（3）由y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）=1-$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1$=$\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$，
y'$-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$，
故dy=$-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$dx；
（4）f（x）=（x-1）x（x-2）（x-3），
由f'（x）=x（x-2）（x-3）+（x-1）[x（x-2）（x-3）]'，
故f'（x）=1×（1-2）（1-3）=2；
（5）dy=$\frac{1-x+（1+x）}{（1-x）^{2}}dx=\frac{2}{（1-x）^{2}}dx$；
（6）$y'=\frac{cosx（1+cosx）+sinx•sinx}{（1+cosx）^{2}}=\frac{cosx}{（1+cosx）^{2}}$；
（7）y'=ex（sinx+cosx+cosx-sinx）=2excosx，
故y′|x=0=2×1×1=2．
解析
步骤 1：求导数或微分
（1）y=x+$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，求y′．
y'=1+$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$=1+$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\root{3}{{x}^{2}}}$；
（2）y=xlnx+$\frac{lnx}{x}$，求$\frac{dy}{dx}$．
$\frac{dy}{dx}=lnx+1+\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
（3）y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1），求dy．
由y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）=1-$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1$=$\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$，
y'$-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$，
故dy=$-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$dx；
（4）f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），求f′（1）．
f（x）=（x-1）x（x-2）（x-3），
由f'（x）=x（x-2）（x-3）+（x-1）[x（x-2）（x-3）]'，
故f'（x）=1×（1-2）（1-3）=2；
（5）y=$\frac{1+x}{1-x}$，求dy．
dy=$\frac{1-x+（1+x）}{（1-x）^{2}}dx=\frac{2}{（1-x）^{2}}dx$；
（6）y=$\frac{sinx}{1+cosx}$，求y′．
$y'=\frac{cosx（1+cosx）+sinx•sinx}{（1+cosx）^{2}}=\frac{cosx}{（1+cosx）^{2}}$；
（7）y=e^{x}•（sinx+cosx），求y′|_x=0．
y'=e^{x}（sinx+cosx+cosx-sinx）=2e^{x}cosx，
故y′|_x=0=2×1×1=2．
（1）y=x+$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，求y′．
y'=1+$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$=1+$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\root{3}{{x}^{2}}}$；
（2）y=xlnx+$\frac{lnx}{x}$，求$\frac{dy}{dx}$．
$\frac{dy}{dx}=lnx+1+\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
（3）y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1），求dy．
由y=（$\sqrt{x}$+1）•（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）=1-$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1$=$\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$，
y'$-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$，
故dy=$-\frac{1+x}{2x\sqrt{x}}$dx；
（4）f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），求f′（1）．
f（x）=（x-1）x（x-2）（x-3），
由f'（x）=x（x-2）（x-3）+（x-1）[x（x-2）（x-3）]'，
故f'（x）=1×（1-2）（1-3）=2；
（5）y=$\frac{1+x}{1-x}$，求dy．
dy=$\frac{1-x+（1+x）}{（1-x）^{2}}dx=\frac{2}{（1-x）^{2}}dx$；
（6）y=$\frac{sinx}{1+cosx}$，求y′．
$y'=\frac{cosx（1+cosx）+sinx•sinx}{（1+cosx）^{2}}=\frac{cosx}{（1+cosx）^{2}}$；
（7）y=e^{x}•（sinx+cosx），求y′|_x=0．
y'=e^{x}（sinx+cosx+cosx-sinx）=2e^{x}cosx，
故y′|_x=0=2×1×1=2．