int_(0)^1e^sqrt(x)dx=（ ）.A. 0B. (1)/(2)C. (2)/(3)D. 2

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及换元法和分部积分法的综合应用。

解题核心思路：

1. 换元法：通过令$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化被积函数。
2. 分部积分法：对转化后的积分进一步拆分，利用分部积分公式简化计算。
3. 代入上下限：注意变量替换后积分上下限的变化，并正确代入计算最终结果。

破题关键点：

• 选择合适的换元：通过$t = \sqrt{x}$消除根号，使积分形式更易处理。
• 分部积分的拆分：合理选择$u$和$dv$，将积分转化为更简单的形式。
• 符号与代入细节：特别注意积分上下限代入时的符号，避免计算错误。

步骤1：变量替换
令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。
当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = 1$时，$t = 1$。
原积分转化为：
$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} e^{t} \cdot 2t \, dt.$

步骤2：分部积分法
设$u = 2t$，$dv = e^{t} \, dt$，则$du = 2 \, dt$，$v = e^{t}$。
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} 2t e^{t} \, dt &= \left. 2t e^{t} \right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} \cdot 2 \, dt \\&= \left[ 2t e^{t} \right]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{t} \, dt.\end{aligned}$

步骤3：计算剩余积分
计算$\int_{0}^{1} e^{t} \, dt$：
$\int_{0}^{1} e^{t} \, dt = \left. e^{t} \right|_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.$

步骤4：代入并化简
将结果代入分部积分后的表达式：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} 2t e^{t} \, dt &= \left( 2 \cdot 1 \cdot e^{1} - 2 \cdot 0 \cdot e^{0} \right) - 2(e - 1) \\&= 2e - 2e + 2 \\&= 2.\end{aligned}$