题目
10.设总体 approx P(lambda )(lambda gt 0), (X1,X2,···,Xn)为来自总体X的简单随机样本,则 dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2-|||-依概率收敛于 () .-|||-A.λ B.λ^2 C.2λ^2 D. lambda +(lambda )^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解题目背景
题目中提到的总体 $X\sim P(\lambda )(\lambda \gt 0)$ 表示 $X$ 是一个参数为 $\lambda$ 的泊松分布。泊松分布的期望和方差都是 $\lambda$，即 $E(X)=D(X)=\lambda$。
步骤 2：应用辛钦大数定律
辛钦大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列，其样本均值依概率收敛于总体的期望。因此，对于样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$，有 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \xrightarrow{p} E(X) = \lambda$。
步骤 3：计算 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$ 的期望
根据方差的定义，$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，因此 $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \lambda + \lambda^2$。由于样本均值的平方依概率收敛于总体均值的平方，所以 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \xrightarrow{p} E(X^2) = \lambda + \lambda^2$。
题目中提到的总体 $X\sim P(\lambda )(\lambda \gt 0)$ 表示 $X$ 是一个参数为 $\lambda$ 的泊松分布。泊松分布的期望和方差都是 $\lambda$，即 $E(X)=D(X)=\lambda$。
步骤 2：应用辛钦大数定律
辛钦大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列，其样本均值依概率收敛于总体的期望。因此，对于样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$，有 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \xrightarrow{p} E(X) = \lambda$。
步骤 3：计算 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$ 的期望
根据方差的定义，$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，因此 $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \lambda + \lambda^2$。由于样本均值的平方依概率收敛于总体均值的平方，所以 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \xrightarrow{p} E(X^2) = \lambda + \lambda^2$。