题目
17、求曲面x^2+2y^2+3z^2=6在点(1,1,1)处的切平面及法线方程。解：令F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-6则F_(x)^prime=2x，F_(y)^prime=4y，F_(z)^prime=6z，从而.nabla F|_((1,1,1))=2,4,6=(1,2,3)，故所求切平面方程为x+2y+3z-6=0，
17、求曲面$x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=6$在点(1,1,1)处的切平面及法线方程。
解：令$F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6$
则$F_{x}^{\prime}=2x$，$F_{y}^{\prime}=4y$，$F_{z}^{\prime}=6z$，从而$\left.\nabla F\right|_{(1,1,1)}=\{2,4,6\}={1,2,3}$，
故所求切平面方程为$x+2y+3z-6=0$，
题目解答
答案
令 $F(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 6$，则
\[
\nabla F = \{F_x', F_y', F_z'\} = \{2x, 4y, 6z\}.
\]
在点 $(1,1,1)$ 处，
\[
\nabla F(1,1,1) = \{2, 4, 6\} = 2\{1, 2, 3\}.
\]
**切平面方程：**
\[
2(x-1) + 4(y-1) + 6(z-1) = 0 \implies x + 2y + 3z - 6 = 0.
\]
**法线方程：**
方向向量为 $\{1, 2, 3\}$，过点 $(1,1,1)$，
\[
\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}.
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{切平面：} & x + 2y + 3z - 6 = 0 \\
\text{法线：} & \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查曲面在某点处的切平面与法线方程的求解方法，涉及梯度向量的计算及其几何意义。
解题核心思路：
- 构造隐函数：将曲面方程写成$F(x,y,z)=0$的形式。
- 计算梯度向量：分别对$x$、$y$、$z$求偏导，得到梯度$\nabla F$。
- 代入点坐标：求出梯度在指定点的值，即法向量。
- 切平面方程：利用法向量与点坐标，通过点法式方程写出切平面。
- 法线方程：根据法向量和点坐标，写出对称式方程。
破题关键：
- 梯度向量的几何意义：梯度方向为曲面在该点的法线方向。
- 方程形式转换：切平面方程需化简为标准形式，法线方程需用对称式表达。
步骤1：构造函数
令$F(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 6$，则曲面方程为$F(x,y,z)=0$。
步骤2：计算梯度向量
分别对$x$、$y$、$z$求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 4y, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = 6z.$
步骤3：代入点$(1,1,1)$
梯度向量为：
$\nabla F(1,1,1) = (2 \cdot 1, 4 \cdot 1, 6 \cdot 1) = (2,4,6).$
可简化为方向向量$\{1,2,3\}$（提取公因数2）。
步骤4：求切平面方程
利用点法式方程：
$2(x-1) + 4(y-1) + 6(z-1) = 0.$
化简得：
$x + 2y + 3z - 6 = 0.$
步骤5：求法线方程
方向向量为$\{1,2,3\}$，过点$(1,1,1)$，对称式方程为：
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}.$