题目
例3 设总体X服从泊松分布P(λ),其中 lambda gt 0 为未知参数.如果取得样本-|||-观测值为x1,x2,···,xn,求参数λ的最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
由于总体X服从泊松分布P(λ)，其概率质量函数为 $p(x;\lambda )=\dfrac {{\lambda }^{x}}{x!}{e}^{-\lambda }$，其中x=0,1,2,...。对于样本观测值x1,x2,...,xn，似然函数L(λ)为：
$L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}p(x_i;\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\dfrac {{\lambda }^{x_i}}{x_i!}{e}^{-\lambda }$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们取对数似然函数：
$\ln L(\lambda )=\sum _{i=1}^{n}\ln p(x_i;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}\ln \left(\dfrac {{\lambda }^{x_i}}{x_i!}{e}^{-\lambda }\right)$
$=\sum _{i=1}^{n}\left(x_i\ln \lambda -\ln (x_i!)-\lambda \right)$
$=\left(\sum _{i=1}^{n}x_i\right)\ln \lambda -\sum _{i=1}^{n}\ln (x_i!)-n\lambda$
步骤 3：求导并解方程
为了找到最大似然估计值，我们需要对对数似然函数关于λ求导，并令导数等于0：
$\dfrac {d\ln L(\lambda )}{d\lambda }=\dfrac {1}{\lambda }\sum _{i=1}^{n}x_i-n=0$
解得：
$\lambda =\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}x_i=\overline {x}$
由于总体X服从泊松分布P(λ)，其概率质量函数为 $p(x;\lambda )=\dfrac {{\lambda }^{x}}{x!}{e}^{-\lambda }$，其中x=0,1,2,...。对于样本观测值x1,x2,...,xn，似然函数L(λ)为：
$L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}p(x_i;\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\dfrac {{\lambda }^{x_i}}{x_i!}{e}^{-\lambda }$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们取对数似然函数：
$\ln L(\lambda )=\sum _{i=1}^{n}\ln p(x_i;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}\ln \left(\dfrac {{\lambda }^{x_i}}{x_i!}{e}^{-\lambda }\right)$
$=\sum _{i=1}^{n}\left(x_i\ln \lambda -\ln (x_i!)-\lambda \right)$
$=\left(\sum _{i=1}^{n}x_i\right)\ln \lambda -\sum _{i=1}^{n}\ln (x_i!)-n\lambda$
步骤 3：求导并解方程
为了找到最大似然估计值，我们需要对对数似然函数关于λ求导，并令导数等于0：
$\dfrac {d\ln L(\lambda )}{d\lambda }=\dfrac {1}{\lambda }\sum _{i=1}^{n}x_i-n=0$
解得：
$\lambda =\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}x_i=\overline {x}$