当 x arrow 1 时，函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) arctan (1)/(x - 1) 的极限为（ ）A. 不存在B. piC. -piD. 0

本题考查函数极限的计算，解题的关键在于分别计算函数在$x\to1^+$（右极限）和$x\to1^-$（左极限）时的极限值，若左右极限不相等，则函数在该点的极限不存在。

步骤一：化简函数

已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \arctan \frac{1}{x - 1}$，对$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$进行化简，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可得：
$\frac{x^2 - 1}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=x + 1$（$x\neq1$）
则原函数可化为$f(x)=(x + 1)\arctan \frac{1}{x - 1}$。

步骤二：计算右极限$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$

当$x\to1^+$时，$x - 1\to0^+$，那么$\frac{1}{x - 1}\to+\infty$。
根据反正切函数$y = \arctan t$的性质，当$t\to+\infty$时，$\lim\limits_{t\to+\infty}\arctan t=\frac{\pi}{2}$，所以$\lim\limits_{x\to1^+}\arctan \frac{1}{x - 1}=\frac{\pi}{2}$。
同时，$\lim\limits_{x\to1^+}(x + 1)=1 + 1 = 2$。
根据极限的乘法法则$\lim\limits_{x\to a}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\to a}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to a}g(x)$，可得：
$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}(x + 1)\arctan \frac{1}{x - 1}=\lim\limits_{x\to1^+}(x + 1)\cdot\lim\limits_{x\to1^+}\arctan \frac{1}{x - 1}=2\times\frac{\pi}{2}=\pi$

步骤三：计算左极限$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$

当$x\to1^-$时，$x - 1\to0^-$，那么$\frac{1}{x - 1}\to-\infty$。
根据反正切函数$y = \arctan t$的性质，当$t\to-\infty$时，$\lim\limits_{t\to-\infty}\arctan t=-\frac{\pi}{2}$，所以$\lim\limits_{x\to1^-}\arctan \frac{1}{x - 1}=-\frac{\pi}{2}$。
同时，$\lim\limits_{x\to1^-}(x + 1)=1 + 1 = 2$。
根据极限的乘法法则，可得：
$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}(x + 1)\arctan \frac{1}{x - 1}=\lim\limits_{x\to1^-}(x + 1)\cdot\lim\limits_{x\to1^-}\arctan \frac{1}{x - 1}=2\times(-\frac{\pi}{2})=-\pi$

步骤四：判断极限是否存在

由于$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\pi$，$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\pi$，左右极限不相等，根据函数极限存在的充要条件：函数在某点的极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等，可知$\lim\limits_{x\to1}f(x)$不存在。