一、填空题（本题20分，每空4分）1.设A,B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB)=____；2.随机变量X的期望为E(X)=5，方差为D(X)=4，则E(X²)=____；3.设X~N(0,2),Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则Z=X-Y~____；4.设X的分布函数为F(x)=(1)/(2)+ccdot arctan x，则参数c=____；5.设X~t(n)，则P[X≤t_(0.97)(n)]=____.

1. 乘法公式：考查条件概率与联合概率的关系，核心是理解条件概率的定义及乘法公式的应用。
2. 方差与期望的关系：需掌握方差公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，通过已知方差和期望求解 $E(X^2)$。
3. 正态分布的性质：独立正态变量的线性组合仍为正态分布，需注意均值与方差的叠加规则。
4. 分布函数的性质：利用分布函数的极限性质 $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$ 求解参数。
5. t分布的分位数：理解分位数的定义，特别是t分布的对称性和概率的对应关系。

第1题

乘法公式应用

根据概率论中的乘法公式，两个事件的联合概率可表示为：
$P(AB) = P(A|B)P(B)$
其中 $P(A|B)$ 是在事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的概率。

第2题

方差公式展开

已知方差公式：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
代入已知条件 $D(X)=4$ 和 $E(X)=5$：
$4 = E(X^2) - 5^2 \implies E(X^2) = 4 + 25 = 29$

第3题

正态分布的叠加

• $X \sim N(0, 2)$ 表示 $X$ 的均值为 $0$，方差为 $2$；
• $Y \sim N(0, 1)$ 表示 $Y$ 的均值为 $0$，方差为 $1$；
• 独立正态变量的差仍为正态分布，均值为 $0 - 0 = 0$，方差为 $2 + 1 = 3$，因此：
  $Z = X - Y \sim N(0, 3)$

第4题

分布函数的归一性

分布函数 $F(x)$ 满足 $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$。代入给定形式：
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{2} + c \cdot \arctan x \right) = 1$
由于 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$，得：
$\frac{1}{2} + c \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \implies c = \frac{1}{\pi}$

第5题

t分布的分位数性质

• $t_{0.97}(n)$ 是t分布的上侧分位数，满足：
  $P(X \ge t_{0.97}(n)) = 0.97$
• 由于t分布的对称性，下侧概率为：
  $P(X \le t_{0.97}(n)) = 1 - 0.97 = 0.03$