题目

参数方程(星形线参数方程) } x = a cos^3 t y = a sin^3 t (a > 0) 所表示得曲线在 t = (pi)/(4) 处的法线斜率为____

参数方程(星形线参数方程) $\begin{cases} x = a \cos^3 t \\ y = a \sin^3 t \end{cases}$ (a > 0) 所表示得曲线在 $t = \frac{\pi}{4}$ 处的法线斜率为____

题目解答

答案

参数方程为 $\cases{x = a \cos^3 t \\ y = a \sin^3 t}$，其中 $a > 0$。
求导得：
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
切线斜率 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = -\tan t$。
在 $t = \frac{\pi}{4}$ 处，切线斜率 $k_{\text{切}} = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$。
法线斜率 $k_{\text{法}}$ 为切线斜率的负倒数，即 $k_{\text{法}} = 1$。

答案： $\boxed{1}$

解析

考查要点：本题主要考查参数方程求导及法线斜率的计算方法，涉及导数的计算、切线与法线斜率的关系。

解题核心思路：

  1. 参数方程求导：利用链式法则分别对$x(t)$和$y(t)$求导，得到$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$。
  2. 切线斜率：通过$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$计算切线斜率。
  3. 法线斜率：根据切线斜率的负倒数关系求解。

破题关键点：

  • 正确求导：注意参数方程的导数形式及符号处理。
  • 代数化简：在求$\frac{dy}{dx}$时，需正确约分并化简表达式。
  • 三角函数值：代入$t = \frac{\pi}{4}$时，需准确计算$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$的值。

参数方程求导

  1. 对$x(t)$求导：
    $\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( a \cos^3 t \right) = -3a \cos^2 t \sin t$
  2. 对$y(t)$求导：
    $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( a \sin^3 t \right) = 3a \sin^2 t \cos t$

计算切线斜率

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$

代入$t = \frac{\pi}{4}$

  1. 切线斜率：
    $k_{\text{切}} = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$
  2. 法线斜率：
    $k_{\text{法}} = -\frac{1}{k_{\text{切}}} = -\frac{1}{-1} = 1$