题目
7.6 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。
7.6 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机
中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。
题目解答
答案
为了求出总体比例的置信区间，我们可以使用以下公式：
\[
\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
\]
其中：
- $\hat{p}$ 是样本比例
- $z_{\alpha/2}$ 是与置信水平相对应的z值
- $n$ 是样本大小
首先，我们已知：
- 样本大小 $n = 200$
- 样本比例 $\hat{p} = 0.23$
### 90% 置信区间
对于90%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$，所以 $\alpha/2 = 0.05$。对应的 $z_{0.05}$ 值是1.645。
将这些值代入公式，我们得到：
\[
0.23 \pm 1.645 \sqrt{\frac{0.23 \times (1 - 0.23)}{200}}
\]
首先计算标准误差：
\[
\sqrt{\frac{0.23 \times 0.77}{200}} = \sqrt{\frac{0.1771}{200}} = \sqrt{0.0008855} \approx 0.02976
\]
然后计算 margin of error：
\[
1.645 \times 0.02976 \approx 0.0491
\]
所以，90%的置信区间是：
\[
0.23 \pm 0.0491 \implies (0.1809, 0.2791)
\]
### 95% 置信区间
对于95%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。对应的 $z_{0.025}$ 值是1.96。
将这些值代入公式，我们得到：
\[
0.23 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.23 \times (1 - 0.23)}{200}}
\]
我们已经计算过标准误差为 $0.02976$，所以计算 margin of error：
\[
1.96 \times 0.02976 \approx 0.0583
\]
所以，95%的置信区间是：
\[
0.23 \pm 0.0583 \implies (0.1717, 0.2883)
\]
### 最终答案
90%的置信区间是 $\boxed{(0.1809, 0.2791)}$。
95%的置信区间是 $\boxed{(0.1717, 0.2883)}$。
解析
步骤 1：确定样本比例和样本大小
样本比例 $\hat{p} = 0.23$，样本大小 $n = 200$。
步骤 2：计算90%置信区间的边界
对于90%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$，所以 $\alpha/2 = 0.05$。对应的 $z_{0.05}$ 值是1.645。
计算标准误差：$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.23 \times 0.77}{200}} = \sqrt{0.0008855} \approx 0.02976$。
计算 margin of error：$1.645 \times 0.02976 \approx 0.0491$。
90%的置信区间是：$0.23 \pm 0.0491 \implies (0.1809, 0.2791)$。
步骤 3：计算95%置信区间的边界
对于95%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。对应的 $z_{0.025}$ 值是1.96。
计算 margin of error：$1.96 \times 0.02976 \approx 0.0583$。
95%的置信区间是：$0.23 \pm 0.0583 \implies (0.1717, 0.2883)$。
样本比例 $\hat{p} = 0.23$，样本大小 $n = 200$。
步骤 2：计算90%置信区间的边界
对于90%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$，所以 $\alpha/2 = 0.05$。对应的 $z_{0.05}$ 值是1.645。
计算标准误差：$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.23 \times 0.77}{200}} = \sqrt{0.0008855} \approx 0.02976$。
计算 margin of error：$1.645 \times 0.02976 \approx 0.0491$。
90%的置信区间是：$0.23 \pm 0.0491 \implies (0.1809, 0.2791)$。
步骤 3：计算95%置信区间的边界
对于95%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。对应的 $z_{0.025}$ 值是1.96。
计算 margin of error：$1.96 \times 0.02976 \approx 0.0583$。
95%的置信区间是：$0.23 \pm 0.0583 \implies (0.1717, 0.2883)$。