题目

一批产品共20件，其中5件次品，不放回抽取4件，用X表示取到的次品数，则X服从的分布名称是____.(填“二项分布”“泊松分布”或“超几何分布”)

一批产品共20件，其中5件次品，不放回抽取4件，用$X$表示取到的次品数，则$X$服从的分布名称是____.(填“二项分布”“泊松分布”或“超几何分布”)

题目解答

根据题目描述，我们可以提取出以下关键信息：

接下来我们分析 $X$ 服从的分布类型：

二项分布：要求在 $n$ 次独立重复试验中，每次试验成功的概率相同。这通常对应于“有放回抽样”或者总体数量极大时的抽样。本题明确指出是“不放回抽取”，每次抽取后次品被抽到的概率会发生改变，因此不符合二项分布。
泊松分布：通常用于描述单位时间或单位面积内稀有事件发生的次数，是二项分布在 $n$ 很大、$p$ 很小时的极限分布。本题是有限总体中的具体抽样问题，不符合泊松分布的特征。
超几何分布：描述的是在不放回抽样中，取得一定数量的某类特定对象的概率分布。具体来说，如果一批产品共有 $N$ 件，其中有 $M$ 件次品，从中不放回地抽取 $n$ 件，则抽到的次品数 $X$ 服从超几何分布。

本题的条件完全符合超几何分布的定义：总体 $N=20$，次品 $M=5$，抽取 $n=4$，且是不放回抽取。

因此，$X$ 服从的分布名称是超几何分布。

本题考查离散型随机变量分布的判断，解题的关键在于明确二项分布、泊松分布和超几何分布的定义及适用条件，然后根据题目所给的抽样方式和总体情况来判断随机变量服从的分布。

明确题目关键信息：
- 总体容量$N = 20$，即产品总数为$20$件。
- 次品数$M = 5$，也就是总体中次品的数量。
- 抽取样本数$n = 4$，表示不放回抽取的产品数量。
- 随机变量$X$表示取到的次品数。
分析二项分布：
- 二项分布要求在$n$次独立重复试验中，每次试验成功的概率相同。
- 独立重复试验通常对应“有放回抽样”，因为有放回抽样时，每次抽取的总体情况不变，每次试验成功的概率也不变。
- 本题是“不放回抽取”，每次抽取后，总体中的产品数量和次品数量都会发生变化，所以每次抽取到次品的概率会改变，不符合二项分布的条件。
分析泊松分布：
- 泊松分布通常用于描述单位时间或单位面积内稀有事件发生的次数，它是二项分布在$n$很大、$p$很小时的极限分布。
- 本题是有限总体中的具体抽样问题，并非描述单位时间或单位面积内稀有事件发生的次数，不符合泊松分布的特征。
分析超几何分布：
- 超几何分布描述的是在不放回抽样中，取得一定数量的某类特定对象的概率分布。
- 其定义为：如果一批产品共有$N$件，其中有$M$件次品，从中不放回地抽取$n$件，则抽到的次品数$X$服从超几何分布。
- 本题中总体$N = 20$，次品$M = 5$，抽取$n = 4$，且是不放回抽取，完全符合超几何分布的定义。