题目
(3)设总体Xsim P(lambda)，lambda>0，若(X_(1),X_(2),...,X_(n))为一组样本.(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)(X_(i)-1)，则期望E(M)=____，那么M____不是)参数lambda^2的无偏估计量.
(3)设总体$X\sim P(\lambda)$，$\lambda>0$，若$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$为一组样本.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}(X_{i}-1)$，则期望$E(M)$=____，那么M____不是)参数$\lambda^{2}$的无偏估计量.
题目解答
答案
为了确定 $ M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i (X_i - 1) $ 的期望 $ E(M) $，并判断 $ M $ 是否是参数 $ \lambda^2 $ 的无偏估计量，我们首先需要计算 $ E(X_i (X_i - 1)) $。 由于 $ X_i \sim P(\lambda) $，即 $ X_i $ 服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布，其概率质量函数为： \[ P(X_i = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \] 泊松分布的期望和方差分别为 $ E(X_i) = \lambda $ 和 $ \text{Var}(X_i) = \lambda $。为了找到 $ E(X_i^2) $，我们使用方差的定义： \[ \text{Var}(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 \] \[ \lambda = E(X_i^2) - \lambda^2 \] \[ E(X_i^2) = \lambda + \lambda^2 \] 现在，我们计算 $ E(X_i (X_i - 1)) $: \[ E(X_i (X_i - 1)) = E(X_i^2 - X_i) = E(X_i^2) - E(X_i) = (\lambda + \lambda^2) - \lambda = \lambda^2 \] 由于 $ M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i (X_i - 1) $，我们利用期望的线性性质： \[ E(M) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i (X_i - 1) \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i (X_i - 1)) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda^2 = \frac{1}{n} \cdot n \lambda^2 = \lambda^2 \] 因此， $ E(M) = \lambda^2 $。这表明 $ M $ 是参数 $ \lambda^2 $ 的无偏估计量。 所以，答案是： \[ \boxed{\lambda^2, \text{是}} \]
解析
本题考查泊松分布的期望与方差性质以及无偏估计量的概念。解题思路如下：
- 首先明确泊松分布的期望和方差公式，对于总体$X\sim P(\lambda)$，有$E(X)=\lambda$，$Var(X)=\lambda$。
- 然后根据方差的定义$Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$，推导出$E(X^{2})$的表达式。
- 接着计算$E(X_{i}(X_{i} - 1))$，利用期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，将其转化为$E(X_{i}^{2})-E(X_{i})$进行计算。
- 最后计算$E(M)$，其中$M = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}(X_{i} - 1)$，再根据无偏估计量的定义判断$M$是否为$\lambda^{2}$的无偏估计量。
下面进行详细计算：
- 步骤一：计算$E(X_{i}^{2})$
已知$Var(X_{i}) = E(X_{i}^{2}) - [E(X_{i})]^{2}$，且$E(X_{i})=\lambda$，$Var(X_{i})=\lambda$，将其代入可得：
$\lambda = E(X_{i}^{2}) - \lambda^{2}$
移项可得$E(X_{i}^{2})=\lambda + \lambda^{2}$。 - 步骤二：计算$E(X_{i}(X_{i} - 1))$
根据期望的线性性质$E(X_{i}(X_{i} - 1)) = E(X_{i}^{2}-X_{i}) = E(X_{i}^{2}) - E(X_{i})$，将$E(X_{i}^{2})=\lambda + \lambda^{2}$，$E(X_{i})=\lambda$代入可得：
$E(X_{i}(X_{i} - 1)) = (\lambda + \lambda^{2}) - \lambda=\lambda^{2}$ - 步骤三：计算$E(M)$
已知$M = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}(X_{i} - 1)$，根据期望的线性性质$E(M)=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}(X_{i} - 1))=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i}(X_{i} - 1))$，将$E(X_{i}(X_{i} - 1))=\lambda^{2}$代入可得：
$E(M)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\lambda^{2}=\frac{1}{n}\cdot n\lambda^{2}=\lambda^{2}$ - 步骤四：判断$M$是否为$\lambda^{2}$的无偏估计量
若$E(M)=\lambda^{2}$，则$M$是$\lambda^{2}$的无偏估计量，由前面计算可知$E(M)=\lambda^{2}$，所以$M$是$\lambda^{2}$的无偏估计量。