题目

5【填空题】设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A^*|=____。

5【填空题】设A为3阶矩阵，且|A|=2，则$|A^{*}|$=____。

题目解答

答案

对于3阶矩阵 $ A $，其伴随矩阵 $ A^* $ 的行列式满足关系： $|A^*| = |A|^{n-1}$ 其中 $ n $ 为矩阵阶数。已知 $ |A| = 2 $，且 $ n = 3 $，代入得： $|A^*| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$ 答案： $\boxed{4}$

解析

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的行列式性质，需要学生掌握伴随矩阵与原矩阵行列式之间的关系公式。

解题核心思路：
对于$n$阶矩阵$A$，其伴随矩阵$A^*$的行列式满足公式：
$|A^*| = |A|^{n-1}$
其中$n$为矩阵的阶数。题目中给出$A$为3阶矩阵且$|A|=2$，直接代入公式即可求解。

破题关键点：

  1. 明确公式：熟记伴随矩阵行列式的计算公式。
  2. 代入数值：将已知的矩阵阶数$n=3$和行列式值$|A|=2$代入公式。

根据伴随矩阵的性质，对于$n$阶矩阵$A$，有：
$|A^*| = |A|^{n-1}$

题目中给出：

  • 矩阵$A$为3阶，即$n=3$
  • $|A|=2$

代入公式得：
$|A^*| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$