5.设A，B是n阶实对称矩阵，证明：A，B及A+B的正惯性指数p(A)，p(B)与p(A+B)满足关系式p(A)+p(B)≥p(A+B).

设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，其正惯性指数分别为 $p(A)$、$p(B)$，$A+B$ 的正惯性指数为 $p(A+B)$。 由实对称矩阵的性质，可同时对角化 $A$ 和 $B$，即存在正交矩阵 $P$，使得 $P^TAP = D_A$，$P^TBP = D_B$，其中 $D_A$、$D_B$ 为对角矩阵。 矩阵 $A+B$ 的特征值为 $D_A + D_B$ 的对角元，即 $A$ 和 $B$ 对应特征值的和。 正惯性指数 $p(A+B)$ 等于 $D_A + D_B$ 中正对角元的个数，最多为 $p(A) + p(B)$（因正特征值和正特征值仍为正）。 因此，$p(A) + p(B) \geq p(A+B)$。 \[ \boxed{p(A) + p(B) \geq p(A+B)} \]