【练习】从总体Xsim N(80,20^2)中抽取容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率?(Phi(1.5)=0.9332)

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于利用样本均值的分布将所求概率转化为标准正态分布的概率进行计算。

1. 确定样本均值的分布：
   • 已知总体$X\sim N(80,20^{2})$，样本容量$n = 100$。
   • 根据样本均值的分布性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本容量为$n$，则样本均值$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
   • 在此题中，$\mu = 80$，$\sigma = 20$，$n = 100$，所以样本均值$\bar{X}$的分布为$N\left(80,\frac{20^{2}}{100}\right)=N(80,4)$。
2. 将所求概率转化为标准正态分布的概率：
   • 要求$P(|\bar{X} - 80| > 3)$，为了将其转化为标准正态分布，我们对不等式两边同时除以样本均值分布的标准差$\sqrt{4}=2$，得到$P\left(\left|\frac{\bar{X} - 80}{2}\right| > \frac{3}{2}\right)$。
   • 令$Z=\frac{\bar{X} - 80}{2}$，因为$\bar{X}\sim N(80,4)$，所以$Z\sim N(0,1)$，则$P\left(\left|\frac{\bar{X} - 80}{2}\right| > \frac{3}{2}\right)=P(|Z| > 1.5)$。
3. 计算标准正态分布的概率：
   • 根据绝对值不等式的性质，$P(|Z| > 1.5)=P(Z > 1.5)+P(Z < - 1.5)$。
   • 由于标准正态分布的对称性，$P(Z < - 1.5)=1 - P(Z < 1.5)=1 - \Phi(1.5)$，且$P(Z > 1.5)=1 - P(Z < 1.5)=1 - \Phi(1.5)$。
   • 所以$P(|Z| > 1.5)=2[1 - \Phi(1.5)]$。
   • 已知$\Phi(1.5)=0.9332$，代入可得$P(|Z| > 1.5)=2\times(1 - 0.9332)=0.1336$。