对同一资料，当处理组数 k=2 时，ANOVA 的结果与 t 检验的结果 ______A. 完全等价，且 t^2=FB. ANOVA 的结果更可靠C. t 检验的结果更可靠D. 理论上不同E. 完全等价，且 sqrt(t)=F

本题考查方差分析（ANOVA）与t检验的关系，解题思路是通过回顾方差分析和t检验的基本原理及公式推导，来判断当处理组数$k = 2$时两者结果的关系。

1. 回顾方差分析（ANOVA）的基本概念

方差分析用于比较多个总体均值是否相等，其原假设$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$，备择假设$H_1$：至少有两个总体均值不相等。
在方差分析中，$F$统计量的计算公式为$F=\frac{MS_{组间}}{MS_{组内}}$，其中$MS_{组间}=\frac{SS_{组间}}{df_{组间}}$，$MS_{组内}=\frac{SS_{组内}}{df_{组内}}$。
$SS_{组间}=\sum_{i = 1}^{k}n_i(\bar{X}_i-\bar{X})^2$，$df_{组间}=k - 1$；$SS_{组内}=\sum_{i = 1}^{k}\sum_{j = 1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2$，$df_{组内}=N - k$，这里$k$是处理组数，$n_i$是第$i$组的样本量，$\bar{X}_i$是第$i$组的样本均值，$\bar{X}$是总样本均值，$N=\sum_{i = 1}^{k}n_i$。

2. 当$k = 2$时，分析$F$统计量

当$k = 2$时，$df_{组间}=2 - 1=1$，$df_{组内}=N - 2$。
$SS_{组间}=n_1(\bar{X}_1-\bar{X})^2 + n_2(\bar{X}_2-\bar{X})^2$，经过化简（利用$\bar{X}=\frac{n_1\bar{X}_1 + n_2\bar{X}_2}{n_1 + n_2}$）可得$SS_{组间}=\frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)^2$，$MS_{组间}=\frac{SS_{组间}}{1}=\frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)^2$。
$MS_{组内}=\frac{SS_{组内}}{N - 2}$，其中$SS_{组内}=\sum_{j = 1}^{n_1}(X_{1j}-\bar{X}_1)^2+\sum_{j = 1}^{n_2}(X_{2j}-\bar{X}_2)^2$。
此时$F=\frac{MS_{组间}}{MS_{组内}}=\frac{\frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)^2}{\frac{\sum_{j = 1}^{n_1}(X_{1j}-\bar{X}_1)^2+\sum_{j = 1}^{n_2}(X_{2j}-\bar{X}_2)^2}{N - 2}}$。

3. 回顾t检验的基本概念

对于两独立样本的$t$检验，其原假设$H_0:\mu_1=\mu_2$，备择假设$H_1:\mu_1\neq\mu_2$。
$t$统计量的计算公式为$t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{S_{\bar{X}_1-\bar{X}_2}}$，其中$S_{\bar{X}_1-\bar{X}_2}=\sqrt{\frac{S_{p}^2}{n_1}+\frac{S_{p}^2}{n_2}}$，$S_{p}^2=\frac{(n_1 - 1)S_1^2+(n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$，$S_1^2=\frac{\sum_{j = 1}^{n_1}(X_{1j}-\bar{X}_1)^2}{n_1 - 1}$，$S_2^2=\frac{\sum_{j = 1}^{n_2}(X_{2j}-\bar{X}_2)^2}{n_2 - 1}$。
经过计算可得$t^2=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)^2}{\frac{S_{p}^2}{n_1}+\frac{S_{p}^2}{n_2}}=\frac{\frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)^2}{\frac{(n_1 - 1)S_1^2+(n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}=F$。
这表明当处理组数$k = 2$时，ANOVA的结果与$t$检验的结果完全等价，且$t^2 = F$。