填空题（共8题，60.0分）12.（4.0分）设某专业有学生120人，在《概率论与数理统计》课程学习过程中，按照周自习时间可分为三类：自习时长小于5小时；自习时长在5-10小时；自习时长超过10小时。这三类学生分别占总人数40%，50%，10%；并且他们在《概率论与数理统计》考试中成绩优秀的概率依次为5%，60%，90%。现从该专业中任选一名学生，则该学生《概率论与数理统计》考试成绩优秀的概率为____；如果已知这名学生成绩优秀，该学生自习时长超过10小时的概率是____.此次答案为分数形式，如m/n.

设事件 $A_1$ 为自习时长小于5小时，$A_2$ 为自习时长在5-10小时，$A_3$ 为自习时长超过10小时，$B$ 为考试成绩优秀。已知：

• $P(A_1) = 0.4$，$P(A_2) = 0.5$，$P(A_3) = 0.1$，
• $P(B|A_1) = 0.05$，$P(B|A_2) = 0.6$，$P(B|A_3) = 0.9$。

由全概率公式：
$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) = 0.05 \times 0.4 + 0.6 \times 0.5 + 0.9 \times 0.1 = 0.02 + 0.3 + 0.09 = 0.41$
即任选一名学生考试成绩优秀的概率为 $\frac{41}{100}$。

由贝叶斯公式：
$P(A_3|B) = \frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B)} = \frac{0.9 \times 0.1}{0.41} = \frac{0.09}{0.41} = \frac{9}{41}$
即已知学生成绩优秀时，自习时长超过10小时的概率为 $\frac{9}{41}$。

答案：
$\frac{41}{100}$；$\frac{9}{41}$。