题目

设样本数据为：n=44，p=0.51，置信水平为99%。则总体比例pi置信区间是（ [填空1] ）（保留两位小数点）(参考临界值：z_(0.05)=1.65，z_(0.025)=1.96，z_(0.005)=2.58)

设样本数据为：$n=44$，$p=0.51$，置信水平为$99\%$。则总体比例$\pi$置信区间是（ [填空1] ）（保留两位小数点） (参考临界值：$z_{0.05}=1.65$，$z_{0.025}=1.96$，$z_{0.005}=2.58$)

题目解答

答案

已知样本数据 $n = 44$，样本比例 $p = 0.51$，置信水平为 99%（即 $\alpha = 0.01$），查表得 $z_{\alpha/2} = z_{0.005} = 2.58$。 计算标准误差： \[ \text{标准误差} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.51 \times 0.49}{44}} \approx 0.0754 \] 计算 margin of error： \[ \text{margin of error} = z_{0.005} \times \text{标准误差} = 2.58 \times 0.0754 \approx 0.1945 \] 置信区间为： \[ p \pm \text{margin of error} = 0.51 \pm 0.1945 \approx (0.3155, 0.7045) \] 保留两位小数，得： \[ \boxed{(0.32, 0.70)} \]

解析

本题考查总体比例置信区间的计算。解题思路如下：

  1. 首先明确已知条件，样本容量$n = 44$，样本比例$p = 0.51$，置信水平为$99\%$，由此可算出显著性水平$\alpha=1 - 99\%=0.01$，进而得到$\frac{\alpha}{2}=0.005$。
  2. 根据给定的参考临界值，找到$z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{0.005} = 2.58$。
  3. 计算总体比例置信区间的标准误差，公式为$SE=\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，将$p = 0.51$，$n = 44$代入可得：
    • $SE=\sqrt{\frac{0.51\times(1 - 0.51)}{44}}=\sqrt{\frac{0.51\times0.49}{44}}$
    • 先计算$0.51\times0.49 = 0.2499$，再计算$\frac{0.2499}{44}\approx0.0056795$，最后$\sqrt{0.0056795}\approx0.0754$。
  4. 计算边际误差$E$，公式为$E = z_{\frac{\alpha}{2}}\times SE$，将$z_{0.005} = 2.58$，$SE\approx0.0754$代入可得：
    • $E=2.58\times0.0754\approx0.1945$。
  5. 计算总体比例$\pi$的置信区间，公式为$p\pm E$，将$p = 0.51$，$E\approx0.1945$代入可得：
    • 下限为$p - E=0.51-0.1945 = 0.3155$。
    • 上限为$p + E=0.51 + 0.1945 = 0.7045$。
  6. 按照题目要求保留两位小数，对$0.3155$和$0.7045$进行四舍五入，得到置信区间为$(0.32, 0.70)$。