题目
X sim N(0,1), X 的分布函数为 Phi(x), 则对任意实数 a, 下列等式成立的是()A. Phi(-a)= Phi(a)B. Phi(-a)= -Phi(a)C. Phi(-a)= 2Phi(a)- 1D. Phi(-a)= 1 - Phi(a)
$X \sim N(0,1)$, $X$ 的分布函数为 $\Phi(x)$, 则对任意实数 $a$, 下列等式成立的是()
A. $\Phi(-a)= \Phi(a)$
B. $\Phi(-a)= -\Phi(a)$
C. $\Phi(-a)= 2\Phi(a)- 1$
D. $\Phi(-a)= 1 - \Phi(a)$
题目解答
答案
D. $\Phi(-a)= 1 - \Phi(a)$
解析
步骤 1：理解标准正态分布的性质
标准正态分布 $X \sim N(0,1)$ 关于 $x=0$ 对称，这意味着对于任意实数 $a$，$X$ 在 $-a$ 和 $a$ 处的分布函数值满足特定关系。
步骤 2：分析选项
- **A**：$\Phi(-a) = \Phi(a)$，不成立（因为对称性导致 $\Phi(-a)$ 和 $\Phi(a)$ 不相等）。
- **B**：$\Phi(-a) = -\Phi(a)$，不成立（因为概率值非负，$\Phi(a)$ 总是非负的）。
- **C**：$\Phi(-a) = 2\Phi(a) - 1$，不恒成立（代入特定值验证不满足）。
- **D**：$\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$，成立（直接由对称性得出）。
步骤 3：验证选项 D
根据标准正态分布的对称性，$\Phi(-a)$ 表示 $X$ 小于 $-a$ 的概率，而 $1 - \Phi(a)$ 表示 $X$ 大于 $a$ 的概率，两者相等。
标准正态分布 $X \sim N(0,1)$ 关于 $x=0$ 对称，这意味着对于任意实数 $a$，$X$ 在 $-a$ 和 $a$ 处的分布函数值满足特定关系。
步骤 2：分析选项
- **A**：$\Phi(-a) = \Phi(a)$，不成立（因为对称性导致 $\Phi(-a)$ 和 $\Phi(a)$ 不相等）。
- **B**：$\Phi(-a) = -\Phi(a)$，不成立（因为概率值非负，$\Phi(a)$ 总是非负的）。
- **C**：$\Phi(-a) = 2\Phi(a) - 1$，不恒成立（代入特定值验证不满足）。
- **D**：$\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$，成立（直接由对称性得出）。
步骤 3：验证选项 D
根据标准正态分布的对称性，$\Phi(-a)$ 表示 $X$ 小于 $-a$ 的概率，而 $1 - \Phi(a)$ 表示 $X$ 大于 $a$ 的概率，两者相等。