题目
(glb 4.3-4)若两个方差均不为0的随机变量X与Y满足Y=1-X,则相关系数l R(X,Y)= ()A. 1B. -1C. 0.5D. -0.5
(glb 4.3-4)若两个方差均不为0的随机变量X与Y满足Y=1-X,则相关系数l R(X,Y)= ()
A. 1
B. -1
C. 0.5
D. -0.5
题目解答
答案
B. -1
解析
步骤 1：定义相关系数
相关系数 \( R(X,Y) \) 是衡量两个随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 之间线性关系强度的指标。它定义为：
\[ R(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]
其中，\( Cov(X,Y) \) 是 \( X \) 和 \( Y \) 的协方差，\( Var(X) \) 和 \( Var(Y) \) 分别是 \( X \) 和 \( Y \) 的方差。
步骤 2：计算协方差
根据题目条件 \( Y = 1 - X \)，我们有：
\[ Cov(X,Y) = Cov(X, 1 - X) = Cov(X, -X) = -Cov(X,X) = -Var(X) \]
因为 \( Cov(X,X) = Var(X) \)。
步骤 3：计算方差
由于 \( Y = 1 - X \)，我们有：
\[ Var(Y) = Var(1 - X) = Var(-X) = Var(X) \]
因为方差是关于随机变量的平方，所以 \( Var(-X) = Var(X) \)。
步骤 4：计算相关系数
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入相关系数的定义中，我们得到：
\[ R(X,Y) = \frac{-Var(X)}{\sqrt{Var(X)Var(X)}} = \frac{-Var(X)}{Var(X)} = -1 \]
相关系数 \( R(X,Y) \) 是衡量两个随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 之间线性关系强度的指标。它定义为：
\[ R(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]
其中，\( Cov(X,Y) \) 是 \( X \) 和 \( Y \) 的协方差，\( Var(X) \) 和 \( Var(Y) \) 分别是 \( X \) 和 \( Y \) 的方差。
步骤 2：计算协方差
根据题目条件 \( Y = 1 - X \)，我们有：
\[ Cov(X,Y) = Cov(X, 1 - X) = Cov(X, -X) = -Cov(X,X) = -Var(X) \]
因为 \( Cov(X,X) = Var(X) \)。
步骤 3：计算方差
由于 \( Y = 1 - X \)，我们有：
\[ Var(Y) = Var(1 - X) = Var(-X) = Var(X) \]
因为方差是关于随机变量的平方，所以 \( Var(-X) = Var(X) \)。
步骤 4：计算相关系数
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入相关系数的定义中，我们得到：
\[ R(X,Y) = \frac{-Var(X)}{\sqrt{Var(X)Var(X)}} = \frac{-Var(X)}{Var(X)} = -1 \]