题目
某种产品尺寸误差approx N(0,(2.5)^2)，误差的绝对值不超过3为合格品，今任取5件，用approx N(0,(2.5)^2)表示5件中的合格品数。( 1 ) 求approx N(0,(2.5)^2)的分布律 ( 用公式法表示 ) ; ( 2 ) 求抽取的5件产品中至少有4件合格品的概率。
某种产品尺寸误差
，误差的绝对值不超过3为合格品，今任取5件，用
表示5件中的合格品数。
( 1 ) 求的分布律 ( 用公式法表示 ) ;
( 2 ) 求抽取的5件产品中至少有4件合格品的概率。
题目解答
答案
首先我们计算单个产品为合格品的概率，即
。由于
，所以
，而这个概率可以用标准正态分布函数来表示，即为
。
（1）根据题意，5个产品是独立抽取的，每个有
的概率为合格品，所以满足二项分布
，即
，其中.
（2）
，其中
，所以
，其中。
解析
步骤 1：计算单个产品为合格品的概率
由于$X\sim N(0,2.5^2)$，即$X$服从均值为0，方差为$2.5^2$的正态分布。误差的绝对值不超过3为合格品，即$P(|X|\leqslant 3)=P(-3\leqslant X\leqslant 3)$。将$X$标准化，得到$\dfrac{X}{2.5}\sim N(0,1)$，因此$P(|X|\leqslant 3)=P(-1.2\leqslant \dfrac{X}{2.5}\leqslant 1.2)$。利用标准正态分布函数$\Phi$，可以表示为$P(|X|\leqslant 3)=\Phi(1.2)-\Phi(-1.2)=2\Phi(1.2)-1$。
步骤 2：求的分布律
根据题意，5个产品是独立抽取的，每个有$P=2\Phi(1.2)-1$的概率为合格品，所以满足二项分布$B(5,2\Phi(1.2)-1)$，即$p(Y=k)={C}_{5}^{k}{p}^{k}{(1-p)}^{5-k}$，其中$k=0,1,2,3,4,5$，$p=2\Phi(1.2)-1$。
步骤 3：求抽取的5件产品中至少有4件合格品的概率
$(Y\geqslant 4)=P(Y=4)+P(Y=5)$，其中$p(Y=4)={C}_{5}^{4}{p}^{4}{(1-p)}^{1}=5{p}^{4}(1-p)$，$P(Y=5)={C}_{5}^{5}{p}^{5}{(1-p)}^{0}={p}^{5}$，所以$P(Y\geqslant 4)=5{p}^{4}(1-p)+{p}^{5}={p}^{4}(5-4p)$，其中$p=2\Phi(1.2)-1$。
由于$X\sim N(0,2.5^2)$，即$X$服从均值为0，方差为$2.5^2$的正态分布。误差的绝对值不超过3为合格品，即$P(|X|\leqslant 3)=P(-3\leqslant X\leqslant 3)$。将$X$标准化，得到$\dfrac{X}{2.5}\sim N(0,1)$，因此$P(|X|\leqslant 3)=P(-1.2\leqslant \dfrac{X}{2.5}\leqslant 1.2)$。利用标准正态分布函数$\Phi$，可以表示为$P(|X|\leqslant 3)=\Phi(1.2)-\Phi(-1.2)=2\Phi(1.2)-1$。
步骤 2：求的分布律
根据题意，5个产品是独立抽取的，每个有$P=2\Phi(1.2)-1$的概率为合格品，所以满足二项分布$B(5,2\Phi(1.2)-1)$，即$p(Y=k)={C}_{5}^{k}{p}^{k}{(1-p)}^{5-k}$，其中$k=0,1,2,3,4,5$，$p=2\Phi(1.2)-1$。
步骤 3：求抽取的5件产品中至少有4件合格品的概率
$(Y\geqslant 4)=P(Y=4)+P(Y=5)$，其中$p(Y=4)={C}_{5}^{4}{p}^{4}{(1-p)}^{1}=5{p}^{4}(1-p)$，$P(Y=5)={C}_{5}^{5}{p}^{5}{(1-p)}^{0}={p}^{5}$，所以$P(Y\geqslant 4)=5{p}^{4}(1-p)+{p}^{5}={p}^{4}(5-4p)$，其中$p=2\Phi(1.2)-1$。