题目
某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图(如图1)：频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2产品的质量指数在[50，70)的为三等品，在[70，90)的为二等品，在[90，110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5(单位：元)．以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．(1)求每件产品的平均销售利润；(2)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值． 频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2ui 频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2vi 频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2(ui频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2)(vi-频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2) 频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2(ui频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2)2 16.30 24.87 0.41 1.64 表中ui=lnxi，vi=lnyi，频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2=频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2ui，频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2=频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2vi根据散点图判断，y=a•xb可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程．(i)建立y关于x的回归方程；(ⅱ)用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？(收益=销售利润-营销费用，取e4.159=64)参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2=频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2，频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2=频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2-频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2频率-|||-组能-|||-0.025 --------|||-0.023 ---|||-0020 ----|||-0.017 ----|||-0.011 ---|||-0.004-|||-o`w 50 60 70 80 90 100 110 质量加数-|||-图1-|||-120-|||-110-|||-100-|||-90-|||-80-|||-70-|||-60-|||-50-|||-40-|||-30-|||-20-|||-10-|||-0 10 20 30 40 50 60 70 80-|||-年营销费用x(万元)-|||-图2．
某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图(如图1)：
产品的质量指数在[50，70)的为三等品，在[70，90)的为二等品，在[90，110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5(单位：元)．以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．
(1)求每件产品的平均销售利润；
(2)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值．
表中ui=lnxi，vi=lnyi，
=
ui，
=vi
根据散点图判断，y=a•xb可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程．
(i)建立y关于x的回归方程；
(ⅱ)用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？(收益=销售利润-营销费用，取e4.159=64)
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
=
，
=-．
产品的质量指数在[50，70)的为三等品，在[70，90)的为二等品，在[90，110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5(单位：元)．以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．
(1)求每件产品的平均销售利润；
(2)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值．
| ui | vi | (ui )(vi-) | (ui)2 |
| 16.30 | 24.87 | 0.41 | 1.64 |
=ui，=vi根据散点图判断，y=a•xb可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程．
(i)建立y关于x的回归方程；
(ⅱ)用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？(收益=销售利润-营销费用，取e4.159=64)
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
=，=-．题目解答
答案
解：(1)设每件产品的销售利润为ξ元，
则ξ的所有可能的取值是1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，一，二，三等品的频率分别是：0.4，0.45，0.15，
故P(ξ-1.5)=0.15，P(ξ-3.5)=0.45，P(ξ-5.5)=0.4，
故随机变量ξ的分布列为：
故E(ξ)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4，
故每件产品的平均销售利润为4元；
(2)(i)由y=a•xb得：lny=ln(a•xb)=lna+blnx，
令u=lnx，v=lny，c=lna，则v=c+bu，
由表中数据得：
=
=0.25，
则
=-=
-0.25×
=4.159，
故
=4.159+0.25u，即ln
=4.159+0.25lnx=ln(e4.159•
)，
∵e4.159=64，故=64，
故所求回归方程是：y=64；
(ii)设年收益为z万元，则z=(Fξ)•y-x=256-x，
设t=，f(t)=256t-t4，则f′(t)=256-4t4=4(64-t4)，
当t∈(0，4)时，f′(t)＞0，f(t)在(0，4)递增，
当t∈(4，+∞)时，f′(t)＜0，f(t)在(4，+∞)递减，
故t=4即x=256时，z的最大值是768，
故该厂应投入256万元营销费，
能使得该产品一年的收益达到最大值768万元．
则ξ的所有可能的取值是1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，一，二，三等品的频率分别是：0.4，0.45，0.15，
故P(ξ-1.5)=0.15，P(ξ-3.5)=0.45，P(ξ-5.5)=0.4，
故随机变量ξ的分布列为：
| ξ | 1.5 | 3.5 | 5.5 |
| P | 0.15 | 0.45 | 0.4 |
故每件产品的平均销售利润为4元；
(2)(i)由y=a•xb得：lny=ln(a•xb)=lna+blnx，
令u=lnx，v=lny，c=lna，则v=c+bu，
由表中数据得：
==0.25，则
=-=-0.25×=4.159，故
=4.159+0.25u，即ln=4.159+0.25lnx=ln(e4.159•)，∵e4.159=64，故
=64，故所求回归方程是：y=64
；(ii)设年收益为z万元，则z=(Fξ)•y-x=256
-x，设t=
，f(t)=256t-t4，则f′(t)=256-4t4=4(64-t4)，当t∈(0，4)时，f′(t)＞0，f(t)在(0，4)递增，
当t∈(4，+∞)时，f′(t)＜0，f(t)在(4，+∞)递减，
故t=4即x=256时，z的最大值是768，
故该厂应投入256万元营销费，
能使得该产品一年的收益达到最大值768万元．