题目
48在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求(1)该电子元件损坏的概率a
48在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的
概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求
(1)该电子元件损坏的概率a
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设 ${A}_{1}=\{ $ 电压不超过200V}, ${A}_{2}=\{ $ 电压在 $200\sim 240V\}$ , ${A}_{3}=\{ $ 电压超过240V}, $B=\{ $ 元件损坏}。
步骤 2：计算各事件的概率
由 $X\sim N(220,25^2)$ 知
$P({A}_{1})=P(X\leqslant 200)$ $=P(\dfrac {X-220}{25}\leqslant \dfrac {200-220}{25})$ $=\Phi(-0.8)=1-\Phi(0.8)=0.212$
$P({A}_{2})=P(200\leqslant X\leqslant 240)$ $=P(\dfrac {200-220}{25}\leqslant \dfrac {X-220}{25}\leqslant \dfrac {240-220}{25})$ $=\Phi(0.8)-\Phi(-0.8)=0.576$
$P({A}_{3})=P(X\gt 240)=1-0.212-0.576=0.212$
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式有 $\alpha =P(B)=\sum _{i=1}^{3}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})=0.212\times 0.1+0.576\times 0.001+0.212\times 0.2=0.0642$
设 ${A}_{1}=\{ $ 电压不超过200V}, ${A}_{2}=\{ $ 电压在 $200\sim 240V\}$ , ${A}_{3}=\{ $ 电压超过240V}, $B=\{ $ 元件损坏}。
步骤 2：计算各事件的概率
由 $X\sim N(220,25^2)$ 知
$P({A}_{1})=P(X\leqslant 200)$ $=P(\dfrac {X-220}{25}\leqslant \dfrac {200-220}{25})$ $=\Phi(-0.8)=1-\Phi(0.8)=0.212$
$P({A}_{2})=P(200\leqslant X\leqslant 240)$ $=P(\dfrac {200-220}{25}\leqslant \dfrac {X-220}{25}\leqslant \dfrac {240-220}{25})$ $=\Phi(0.8)-\Phi(-0.8)=0.576$
$P({A}_{3})=P(X\gt 240)=1-0.212-0.576=0.212$
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式有 $\alpha =P(B)=\sum _{i=1}^{3}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})=0.212\times 0.1+0.576\times 0.001+0.212\times 0.2=0.0642$