设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体 X sim N(mu, sigma^2) 的样本, S^2 是样本方差, 则统计量 ((n-1)S^2)/(sigma^2) 服从的分布是________.

考查要点：本题主要考查样本方差的分布性质以及卡方分布的定义与应用。

解题核心思路：
当总体服从正态分布时，样本方差与样本均值相互独立，且统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。关键在于理解平方和的标准化形式与卡方分布的联系。

破题关键点：

1. 样本方差的定义：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，其中分母为 $n-1$ 是为了无偏估计总体方差。
2. 卡方分布的构造：将标准化后的离差平方和 $\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \bar{X}}{\sigma}\right)^2$ 与自由度 $n-1$ 结合。
3. 独立性定理：正态总体下，样本均值 $\bar{X}$ 与样本方差 $S^2$ 独立，从而平方和的分布仅依赖于自由度。

步骤1：写出样本方差的表达式

样本方差定义为：
$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$
其中 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 是样本均值。

步骤2：构造统计量

将题目中的统计量展开：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$
分子为离差平方和，分母为总体方差。

步骤3：推导分布

由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后有：
$\frac{X_i - \bar{X}}{\sigma} \quad \text{与} \quad \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$
独立，因此平方和 $\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \bar{X}}{\sigma}\right)^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。