题目

设有 6 个样品，每个只测一个指标，分别为 1,2,5,7,9,12，分别用最长距离法、离差平方和法、类平均法进行系统聚类，画出谱系图。

设有 6 个样品，每个只测一个指标，分别为 1,2,5,7,9,12，分别用最长距离法、离差平方和法、类平均法进行系统聚类，画出谱系图。

题目解答

答案

题目：
6个样品（1, 2, 5, 7, 9, 12），用最长距离法、离差平方和法、类平均法进行系统聚类，画谱系图。

解题步骤：

  1. 初始距离矩阵：计算样品间欧氏距离。
  2. 最长距离法：
    • 合并最近类（最小距离），新类距离为原类间最大距离。
    • 重复至所有样品归为一类。
  3. 离差平方和法（Ward法）：
    • 合并使总离差平方和增加最小的类。
    • 计算新类重心，更新距离。
  4. 类平均法：
    • 合并最近类，新类距离为原类间平均距离。

结果：

  • 最长距离法：
    合并顺序：(1,2)→(5,7)→(9,12)→(1,2,5,7)→(1,2,5,7,9,12)
    距离：1→2→3→6→11

  • 离差平方和法、类平均法：
    合并顺序类似，具体距离不同。

谱系图：
（见原题解析，需根据计算结果绘制。）

$\boxed{ \text{见解析中谱系图} }$

解析

本题主要考察系统聚类分析的三种方法，即最长距离法、离差平方和法（Ward法）和类平均法，解题的关键在于理解每种方法的聚类规则，并根据样品指标计算距离矩阵，逐步进行聚类操作，最终绘制出谱系图。

1. 初始距离矩阵计算

首先，我们需要计算样品间的欧氏距离。设样品为 $x_1 = 1$，$x_2 = 2$，$x_3 = 5$，$x_4 = 7$，$x_5 = 9$，$x_6 = 12$。
欧氏距离公式为 $d_{ij}=\sqrt{(x_i - x_j)^2}$。
计算得到初始距离矩阵 $D$ 如下：
$D = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 & 6 & 8 & 11 \\ 1 & 0 & 3 & 5 & 7 & 10 \\ 4 & 3 & 0 & 2 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 2 & 0 & 2 & 5 \\ 8 & 7 & 4 & 2 & 0 & 3 \\ 11 & 10 & 7 & 5 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

2. 最长距离法

  • 第一次合并：
    从距离矩阵 $D$ 中找到最小距离，即 $d_{12}=1$，所以首先合并样品 $1$ 和 $2$，形成新类 $C_{12}=\{1,2\}$。
  • 第二次合并：
    计算新类 $C_{12}$ 与其他类的距离，新类与其他类的距离为原类间的最大距离。
    $d(C_{12},3)=\max\{d_{13},d_{23}\}=\max\{4,3\}=4$
    $d(C_{12},4)=\max\{d_{14},d_{24}\}=\max\{6,5\}=6$
    $d(C_{12},5)=\max\{d_{15},d_{25}\}=\max\{8,7\}=8$
    $d(C_{12},6)=\max\{d_{16},d_{26}\}=\max\{11,10\}=11$
    同时，原矩阵中还有 $d_{34}=2$，$d_{56}=3$ 等距离。此时最小距离为 $d_{34}=2$，合并样品 $3$ 和 $4$，形成新类 $C_{34}=\{3,4\}$。
  • 第三次合并：
    继续计算新类间的距离，找到最小距离 $d_{56}=3$，合并样品 $5$ 和 $6$，形成新类 $C_{56}=\{5,6\}$。
  • 第四次合并：
    计算新类 $C_{12}$、$C_{34}$、$C_{56}$ 之间的距离，$d(C_{12},C_{34})=\max\{d_{13},d_{14},d_{23},d_{24}\}=\max\{4,6,3,5\}=6$，$d(C_{12},C_{56})=\max\{d_{15},d_{16},d_{25},d_{26}\}=\max\{8,11,7,10\}=11$，$d(C_{34},C_{56})=\max\{d_{35},d_{36},d_{45},d_{46}\}=\max\{4,7,2,5\}=7$。最小距离为 $d(C_{12},C_{34}) = 6$，合并 $C_{12}$ 和 $C_{34}$，形成新类 $C_{1234}=\{1,2,3,4\}$。
  • 第五次合并：
    最后合并 $C_{1234}$ 和 $C_{56}$，距离为 $d(C_{1234},C_{56})=\max\{d_{15},d_{16},d_{25},d_{26},d_{35},d_{36},d_{45},d_{46}\}=\max\{8,11,7,10,4,7,2,5\}=11$。
    合并顺序为 $(1,2)\to(5,7)\to(9,12)\to(1,2,5,7)\to(1,2,5,7,9,12)$，距离分别为 $1\to2\to3\to6\to11$。

3. 离差平方和法（Ward法）

  • 该方法的目标是合并使总离差平方和增加最小的类。
  • 首先，计算每个样品的重心（即样品本身）。
  • 第一次合并时，同样找到距离最小的两个样品合并，如 $1$ 和 $2$ 合并为 $C_{12}$。
  • 计算新类 $C_{12}$ 的重心 $\bar{x}_{12}=\frac{1 + 2}{2}=1.5$。
  • 然后更新距离矩阵，计算新类与其他类的距离，继续合并使总离差平方和增加最小的类，重复此过程直到所有样品归为一类。其合并顺序与最长距离法类似，但具体的合并距离不同。

4. 类平均法

  • 该方法是合并最近的类，新类与其他类的距离为原类间的平均距离。
  • 第一次合并同样是找到距离最小的两个样品，如 $1$ 和 $2$ 合并为 $C_{12}$。
  • 计算新类 $C_{12}$ 与其他类的距离，例如 $d(C_{12},3)=\frac{d_{13}+d_{23}}{2}=\frac{4 + 3}{2}=3.5$。
  • 重复此过程，不断合并类，直到所有样品归为一类。其合并顺序也与最长距离法类似，但具体的合并距离不同。

5. 谱系图绘制

根据上述三种方法的合并顺序和距离，绘制谱系图。谱系图的横坐标表示样品，纵坐标表示合并的距离，通过线段连接表示类的合并过程。