题目
设随机变量 X sim N(-3,1), Y sim N(2,1)，且 X 与 Y 相互独立。令 Z = X - 2Y + 7，则 Z 服从(）分布。A. N(0,5)B. N(0,3)C. N(0,46)D. N(0,54)
设随机变量 $X \sim N(-3,1)$, $Y \sim N(2,1)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。令 $Z = X - 2Y + 7$，则 $Z$ 服从(）分布。
A. $N(0,5)$
B. $N(0,3)$
C. $N(0,46)$
D. $N(0,54)$
题目解答
答案
A. $N(0,5)$
解析
步骤 1：计算 $Z$ 的均值
根据线性变换的性质，随机变量 $Z = X - 2Y + 7$ 的均值 $E[Z]$ 可以通过 $X$ 和 $Y$ 的均值来计算。由于 $X \sim N(-3,1)$ 和 $Y \sim N(2,1)$，我们有：
\[ E[Z] = E[X - 2Y + 7] = E[X] - 2E[Y] + 7 = -3 - 2 \times 2 + 7 = 0 \]
步骤 2：计算 $Z$ 的方差
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Z$ 的方差 $\text{Var}[Z]$ 可以通过 $X$ 和 $Y$ 的方差来计算。由于 $X \sim N(-3,1)$ 和 $Y \sim N(2,1)$，我们有：
\[ \text{Var}[Z] = \text{Var}[X - 2Y + 7] = \text{Var}[X] + (-2)^2\text{Var}[Y] = 1 + 4 \times 1 = 5 \]
步骤 3：确定 $Z$ 的分布
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，$Z$ 的均值为 0，方差为 5，因此 $Z$ 服从正态分布 $N(0, 5)$。
根据线性变换的性质，随机变量 $Z = X - 2Y + 7$ 的均值 $E[Z]$ 可以通过 $X$ 和 $Y$ 的均值来计算。由于 $X \sim N(-3,1)$ 和 $Y \sim N(2,1)$，我们有：
\[ E[Z] = E[X - 2Y + 7] = E[X] - 2E[Y] + 7 = -3 - 2 \times 2 + 7 = 0 \]
步骤 2：计算 $Z$ 的方差
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Z$ 的方差 $\text{Var}[Z]$ 可以通过 $X$ 和 $Y$ 的方差来计算。由于 $X \sim N(-3,1)$ 和 $Y \sim N(2,1)$，我们有：
\[ \text{Var}[Z] = \text{Var}[X - 2Y + 7] = \text{Var}[X] + (-2)^2\text{Var}[Y] = 1 + 4 \times 1 = 5 \]
步骤 3：确定 $Z$ 的分布
根据步骤 1 和步骤 2 的计算结果，$Z$ 的均值为 0，方差为 5，因此 $Z$ 服从正态分布 $N(0, 5)$。