题目
7.[填空题]若随机变量X~N(-2，4)，Y~N(3，9)，且X与Y相互独立。设Z=2X-Y+5，则E(Z)=______D(Z)=______
7.[填空题]
若随机变量X~N(-2，4)，Y~N(3，9)，且X与Y相互独立。设Z=2X-Y+5，
则E(Z)=______D(Z)=______
题目解答
答案
根据期望和方差的性质，对于随机变量 $Z = 2X - Y + 5$：
1. **计算期望 $E(Z)$**：
$E(Z) = 2E(X) - E(Y) + 5 = 2 \times (-2) - 3 + 5 = -2$。
2. **计算方差 $D(Z)$**：
由于 $X$ 与 $Y$ 独立，
$D(Z) = 4D(X) + D(Y) = 4 \times 4 + 9 = 25$。
**答案**：
$E(Z) = -2$，
$D(Z) = 25$。
\[
\boxed{-2}, \quad \boxed{25}
\]
解析
步骤 1：计算期望 $E(Z)$
根据期望的线性性质，对于随机变量 $Z = 2X - Y + 5$，我们有：
\[ E(Z) = E(2X - Y + 5) = 2E(X) - E(Y) + 5 \]
由于 $X \sim N(-2, 4)$ 和 $Y \sim N(3, 9)$，我们有 $E(X) = -2$ 和 $E(Y) = 3$。因此：
\[ E(Z) = 2(-2) - 3 + 5 = -4 - 3 + 5 = -2 \]
步骤 2：计算方差 $D(Z)$
根据方差的性质，对于随机变量 $Z = 2X - Y + 5$，我们有：
\[ D(Z) = D(2X - Y + 5) = 4D(X) + D(Y) \]
由于 $X$ 与 $Y$ 独立，我们有 $D(X) = 4$ 和 $D(Y) = 9$。因此：
\[ D(Z) = 4 \times 4 + 9 = 16 + 9 = 25 \]
根据期望的线性性质，对于随机变量 $Z = 2X - Y + 5$，我们有：
\[ E(Z) = E(2X - Y + 5) = 2E(X) - E(Y) + 5 \]
由于 $X \sim N(-2, 4)$ 和 $Y \sim N(3, 9)$，我们有 $E(X) = -2$ 和 $E(Y) = 3$。因此：
\[ E(Z) = 2(-2) - 3 + 5 = -4 - 3 + 5 = -2 \]
步骤 2：计算方差 $D(Z)$
根据方差的性质，对于随机变量 $Z = 2X - Y + 5$，我们有：
\[ D(Z) = D(2X - Y + 5) = 4D(X) + D(Y) \]
由于 $X$ 与 $Y$ 独立，我们有 $D(X) = 4$ 和 $D(Y) = 9$。因此：
\[ D(Z) = 4 \times 4 + 9 = 16 + 9 = 25 \]