矩阵 A = } 1 & 2 & 3 3 & 6 & 9 2 & 4 & 6 的秩等于（ ）。A. 0B. 1C. 2D. 3

本题考查矩阵秩的计算，解题思路可以通过初等行变换将矩阵化为行最简形，行最简形中非零行的行数即为矩阵的秩；也可以通过观察矩阵列向量之间的线性关系来确定矩阵的秩。

方法一：初等行变换法

已知矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$。

• 第一步：对矩阵$A$进行初等行变换，从第二行减去第一行的$3$倍，根据矩阵初等行变换规则$r_i - kr_j$（$r_i$表示第$i$行，$r_j$表示第$j$行，$k$为常数），这里$i = 2$，$j = 1$，$k = 3$，则第二行变为$\begin{bmatrix}3 - 3\times1 & 6 - 3\times2 & 9 - 3\times3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
• 第二步：从第三行减去第一行的$2$倍，同样根据矩阵初等行变换规则$r_i - kr_j$，这里$i = 3$，$j = 1$，$k = 2$，则第三行变为$\begin{bmatrix}2 - 2\times1 & 4 - 2\times2 & 6 - 2\times3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
  经过上述初等行变换后，矩阵$A$化为行最简形$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。
  由于行最简形中只有一个非零行，根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其行最简形中非零行的行数，所以矩阵$A$的秩为$1$。

方法二：观察列向量线性相关性法

矩阵$A$的列向量分别为$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ 6 \end{bmatrix}$。
可以发现$\mathbf{v}_2 = 2\mathbf{v}_1$，$\mathbf{v}_3 = 3\mathbf{v}_1$，即列向量之间存在线性关系，说明列向量线性相关。
根据矩阵的秩等于其列向量组的极大线性无关组所含向量的个数，由于列向量组的极大线性无关组只含有一个向量（例如$\mathbf{v}_1$），所以矩阵$A$的秩为$1$。