题目

4. (10.0分) 讨论λ取何值时，下述方程组有唯一解？有无穷多解？无解？ } lambda x_(1)+x_(2)+x_(3)=1 x_(1)+lambda x_(2)+x_(3)=1 x_(1)+x_(2)+lambda x_(3)=1

4. (10.0分) 讨论λ取何值时，下述方程组有唯一解？有无穷多解？无解？ $\begin{cases} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=1\end{cases}$

题目解答

答案

系数矩阵 $A$ 的行列式为：
$|A| = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$

  1. 唯一解：当 $|A| \neq 0$，即 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，方程组有唯一解。
  2. 无穷多解：当 $|A| = 0$ 且 $\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) < 3$ 时，方程组有无穷多解。
    • 当 $\lambda = 1$ 时，$A$ 的秩为 1，增广矩阵 $\bar{A}$ 的秩也为 1，满足条件。
  3. 无解：当 $|A| = 0$ 且 $\text{rank}(A) \neq \text{rank}(\bar{A})$ 时，方程组无解。
    • 当 $\lambda = -2$ 时，$A$ 的秩为 2，增广矩阵 $\bar{A}$ 的秩为 3，不满足条件，方程组无解。

结论：
$\boxed{\begin{array}{ll}\lambda \neq 1 \text{ 且 } \lambda \neq -2, & \text{唯一解} \\\lambda = 1, & \text{无穷多解} \\\lambda = -2, & \text{无解}\end{array}}$

解析

本题考查线性方程组解的情况与系数矩阵行列式以及矩阵秩的关系。。解题思路是先计算系数矩阵的行列式，根据行列式的值判断方程组解的初步情况，再对行列式为零的情况，通过分析系数矩阵和增广矩阵的秩来确定方程组是有无穷多解还是无解。

  1. 计算系数矩阵$A$的行列式：
    已知方程组的系数矩阵\(A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}\)，根据三阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21 & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{323} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23 \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21 & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)，可得：
    $\[\begin{align*}|A|&=\lambda\begin{vmatrix}\lambda & 1 \\1 & \lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1 & 1 \\1 & \lambda\endmatrix}+1\begin{vmatrix}1 & \lambda \\1 & 1\endmatrix}\\&=\lambda(\lambda^2 - 1) - (\lambda - 1) + 1\\&=\lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + \\&=\lambda^3 - 2\lambda + - 1\\&=(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\end{align*}$

. 根据行列式的值讨论方程组解的情况：

  • 唯一解的情况：
    根据克莱姆法则，当系数矩阵$A$的行列式$|A|\neq 0$时，方程组有唯一解。
    令$(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\neq 0$，即$\lambda \neq 1$且$\lambda \neq -2$时，方程组有唯一解。
  • 无穷多解和无解的情况：
    当$|A| = 0$时，即$\lambda - 1)^2(\lambda + 2)=0$，解得$\lambda = 1$或$\lambda = -2$，此时需要进一步分析系数矩阵$A$和增广矩阵$\bar{A}$的秩。
    • 当$\lambda = 1$时，原方程组变为\(\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \end{cases}\)，此时系数矩阵\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)，对其进行初等行变换，第二行减去第一行，第三行减去第一行，可得\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\)，所以$\text{rank}(A) = 1$。
      增广矩阵\(\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)，同样进行初等行变换，第二行减去第一行，第三行减去行第一行，可得\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，所以$\text{rank}(\bar{A}) = 1$。
      因为$\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) = 1 < 3$，所以方程组有无穷多解。
      -当$\lambda = -2$时，原方程组变为\(\begin{cases} -2x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}-2x_{3}=1 \end{cases}\)，系数矩阵\(A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\)，对其进行初等行变换：
      第一行与第二行交换得\(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\)，第二行加上第一行的$2$倍，第三行减去第一行得\(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}\)，第三行加上第二行得\(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，所以$\text{rank}(A) = 2$。
      增广矩阵\(\bar{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\)，同样进行上述初等行变换后可得\(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)，$\text{rank}(\bar{A}) = 3$。
      因为$\text{rank}(A) \neq \text{rank}(\bar{A})$，所以方程组无解。